有多少种硬币组合，更优解法

摘要：写在前面的自我检讨上周我发布了一篇博文有多少种硬币组合找出独特子数组之和，是关于有多少种硬币组合的算法题的解法。假如，现在我们只有一个硬币，分。则可能性只有种，那就是。

上周我发布了一篇博文有多少种硬币组合——找出独特子数组之和，是关于有多少种硬币组合的算法题的解法。虽然算法本身能够给出一个正确答案，可是仔细想来，我却没办法给出一个简单直接的解释为什么这样跑可以奏效。好的算法应该是能够以一种通俗易懂的方法教给别人的，如果连做出这道算法题的人都无法解释清楚，那即便这个算法能够跑起来，也不能算好吧。

就这个问题，一位高人给出了一个更好的解决方式，通俗易懂。听完之后，我真是不得不服功力之高深呐~

如果你有一个硬币数组和一个代表其数量的数组，如何得到一共有多少种不同组合所得的和？

比如：硬币数组[10, 50, 100]，和代表其数量的数组[1, 2, 1]就表示这里一共有三种硬币，1枚10分，2枚50分和1枚100分硬币。那么其可能的排列组合则包括

10 = 10

50 = 50

100 = 100

10 + 50 = 60

10 + 100 = 110

50 + 50 = 100

50 + 100 = 150

10 + 50 + 50 = 110

10 + 50 + 100 = 160

50 + 50 + 100 = 200

10 + 50 + 50 + 100 = 210

则，不重复的值则包括加黑的部分，一共是9个。

首先，上一篇博文里的第一步和第二步是正确的，我们确实需要将所有硬币组合起来，组成一个新的数组coinList，其中包含了所有的硬币。则这部分的代码还是继续使用。

代码如下：

/**
 * Count number of 
 * @param {Array} coins array contains coins with different values
 * @param {Array} counts array contains corresponding counts of different coins
 * @returns {Number} The count of distinct sums
 */
function countDistinctSum(coins, counts) {
    if(coins.length !== counts.length) {
        return -1;
    }

    const results = {};
    const coinList = [];

    for(let i = 0; i < coins.length; i++){
        for(let j = 0; j < counts[i]; j++) {
            coinList.push(coins[i]);
        }
    }

    // where the beauty of algorithm shows

    return Object.keys(results).length - 1; // Remove the empty 0 coin element
}

我们一步一步来看，所有的组合是如何的出来的。假如，现在我们只有一个硬币，1分。则可能性只有1种，那就是[1]。

现在我们增加一个硬币，2分。则可能性则变成了[1, 2, 1+2]，3种。

如果我们再加一个硬币，3分呢？则可能性又变成了[1, 2, 3, 1+2, 1+3，2+3，1+2+3]，7种。

仔细看，当硬币的数量一个一个地增加，可能的组合数量也相应地有规律地再增加。什么规律？？？好像看不是很清楚。那么我们换一种方法来表示呢？

如果将硬币表示为A, B, C。

一枚硬币的时候，是：
A

两枚硬币的时候呢？那我们直接在之前的A后面加上一枚新的B

A + B

除此之外，之前的A也应该在里面

A + B

A

再加上新增加的B，则变成了：

A + B

A

B

这时候加第三枚了，我们在之前的这三种情况下都加上C，则变成了

A + B + C

A + C

B + C

而之前的那三种组合是还存在的，所以整个数组变成了

A + B + C

A + C

B + C

A + B

A

B

最后加上新增加的C，最终得到了

A + B + C

A + C

B + C

A + B

A

B

C

这下是否更清楚了？每当一个新的硬币被加进数组之中时，组合的数量始终是之前的两倍多一个。比如：

1枚硬币时，组合数量是1

2枚硬币时，组合数量是1 * 2 + 1 = 3

3枚硬币时，组合数量是3 * 2 + 1 = 7

4枚硬币时，组合数量是7 * 2 + 1 = 15

......

以此类推

在计算过程中，难免会遇到许多重复的值。比如两枚硬币都是10分的时候，计算出来的组合是[10, 10, 20]。但其实我们不需要两个10，而只需要[10, 20]就可以了。这个时候我们需要用到Set这种数据结构来储存数据。因为set里面的元素都是非重复的。

比如，一组硬币[10, 50, 50]。处理第一枚硬币的时候，Set里有[10]。

处理第二枚硬币时，对这个Set里的所有元素提取出来并且加上新的硬币值，10 + 50得到了60，并添加得到的和与新添加的这枚硬币值进入进入Set里，得到了[10, 50, 60].

处理第三枚硬币时，还是继续提取出这个Set里的所有元素，并且加上新的硬币值。于是：

10 + 50 = 60

50 + 50 = 100

60 + 50 = 110

将这三个新的和加入Set，去掉重复值之后得到了[10, 50, 60, 100, 110]。然后再把第三枚硬币本身的值，50，也添加进去。但因为50已经存在了，则Set还是[10, 50, 60, 100, 110]。

一直重复循环到最后，我们将得到所有非重复的和。问题至此也被解决了~

完整代码

/*
 * Count number of
 * @param {Array} coins array contains coins with different values
 * @param {Array} counts array contains corresponding counts of different coins
 * @returns {Number} The count of distinct sums
 */
function countDistinctSum(coins, counts) {
    if(coins.length !== counts.length) {
        return -1;
    }

    const coinList = [];
    for(let i = 0; i < coins.length; i++){
        for(let j = 0; j < counts[i]; j++) {
            coinList.push(coins[i]);
        }
    }
    // Create a new set
    const results = new Set();
    for(let i = 0; i < coinList.length; i++){
        // tempSum is used to store the temporary sum of every element in the set and new coin value
        const tempSum = [];
        for (let it = results.values(), val= null; val = it.next().value; ) {
            tempSum.push(val + coinList[i]);
        }

        // add every sum in tempSum to the set and the set will do automatic duplication removal.
        tempSum.forEach(n => {
            results.add(n);
        });

        // add the new coin value into the set
        results.add(coinList[i]);
    }

    return results.size;
}

测试：

const a = [10, 50, 100];
const b = [1, 2, 1];

console.log("Result:", countDistinctSum(a, b)) // Result: 9