ES6函数与Lambda演算

摘要：高阶函数函数式编程中，接受函数作为参数，或者返回一个函数作为结果的函数通常就被称为高阶函数。均属于高阶函数，高阶函数并不神秘，我们日常编程也会用到。参考演算函数式编程指南入门康托尔哥德尔图灵永恒的金色对角线原文函数与演算

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应用涉及到了展现目录树，实现方法不可或缺的一定是递归遍历。进而开启了我对lambda演算的探索发现之旅。

本次乘坐的是 斐波那契 号邮轮，下面会涉及到一些 JavaScript 函数式编程中的一些基本概念。如果出现眩晕、恶心（kan bu dong)等不良反应，想下船的旅客纯属正常。常旅客请安心乘坐。

函数式编程中，接受函数作为参数，或者返回一个函数作为结果的函数通常就被称为高阶函数。

map、filter、reduce 均属于高阶函数，高阶函数并不神秘，我们日常编程也会用到。

ES6 中的 map 例子

const arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

const powArr = arr.map(v => v * v)

console.log(powArr) // [ 1, 4, 9, 16, 25, 36 ]

尾调用（Tail Call）是函数式编程的一个重要概念，本身非常简单，是指某个函数的最后一步是调用另一个函数。尾调用即是一个作为返回值输出的高阶函数。

例如：

function f(x) {
  return g(x);
}

函数f()在尾部调用了函数g()

尾调用的重要性在于它可以不在调用栈上面添加一个新的堆栈帧，而是更新它，如同迭代一般。

递归我们都不陌生，函数调用自身，称为递归。如果尾调用自身，就称为尾递归。通常被用于解释递归的程序是计算阶乘：

// ES5
function factorial(n) {
  return n === 1 ? 1 : n * factorial(n - 1);
}

factorial(6) // => 720

// ES6
const factorial = n => n === 1 ? 1 : n * factorial(n - 1)

factorial(6) // => 720

递归非常耗费内存，因为需要同时保存成千上百个调用记录，很容易发生“栈溢出”错误（stack overflow）。但对于尾递归来说，由于只存在一个调用记录，所以永远不会发生“栈溢出”错误。对函数调用在尾位置的递归或互相递归的函数，由于函数自身调用次数很多，递归层级很深，尾递归优化则使原本 O(n) 的调用栈空间只需要 O(1)

尾递归因而具有两个特征：

调用自身函数(Self-called)；

计算仅占用常量栈空间(Stack Space)。

再看看尾递归优化过的阶乘函数：

// ES5
function factorial(n, total) {
  return n === 1 ? total : factorial(n - 1, n * total);
}

factorial(6, 1) // => 720

// ES6
const factorial = (n, total) => n === 1 ? total : factorial(n - 1, n * total)

factorial(6, 1) // => 720

在ES6中，只要使用尾递归，就不会发生栈溢出，相对节省内存。

上面的阶乘函数factorial，尾递归优化后的阶乘函数使用到了total这个中间变量，为了做到递归实现，确保最后一步只调用自身，把这个中间变量改写成函数的参数，这样做是有缺点的，为什么计算6的阶乘，还要传入两个变量6和1呢？解决方案就是柯里化。

柯里化（Currying），是把接受多个参数的函数变换成接受一个单一参数的函数，并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。

维基百科上的解释稍微有点绕了，简单来说，一个 currying 的函数只传递给函数一部分参数来调用它，让它返回一个闭包函数去处理剩下的参数。

// 阶乘尾递归优化写法
function currying(fn, n) {
  return function (m) {
    return fn.call(this, m, n);
  };
}

function tailFactorial(n, total) {
  if (n === 1) return total;
  return tailFactorial(n - 1, n * total);
}

const factorial = currying(tailFactorial, 1);

factorial(6) // => 720

下面看下 ES6 中的 柯里化：

const fact = (n, total) => n === 1 ? total : fact(n - 1, n * total)

const currying = f => n => m => f(m, n)

const factorial = currying(fact)(1)

factorial(6) // => 720

上面代码通过柯里化，将尾递归变为只接受单个参数的 factorial，得到了想要的factorial(6) 独参函数。

思考?，有木有更简单的方法实现上面独参尾递归栗子。当然有，利用ES6的函数新特性，函数默认值。

简单化问题：

const fact = (n, total = 1) => n === 1 ? total : fact(n - 1, n * total)

factorial(6) // => 720

在 JavaScript 中，Lambda表达式可以表示匿名函数。

恒等函数在 JavaScript 中的栗子：

// ES5
var f = function (x) {
  return x;
};

// ES6
const f = x => x

用 lambda表达式 来写是这样子的：λx.x

现在试着用lambda表达式写出递归（匿名函数递归），使用具有递归效果的lambda表达式，将lambda表达式作为参数之一传入其自身。

// ES5
function factorial(f, n) {
  return n === 1 ? 1 : n * f(f, n - 1)
}

factorial(factorial, 6) // => 720

// ES6
const factorial = (f, n) => n === 1 ? 1 : n * f(f, n - 1)

factorial(factorial, 6) // => 720

是的，这么做还是太难看了，没人希望写一个阶乘函数还要传入其他参数。解决方案仍然是柯里化。尾调用优化后的Lambda表达式递归：

const fact = (f, n ,total = 1) => n === 1 ? total : f(f, n - 1, n * total)

const currying = f => n => m => f(f, m ,n)

const factorial = currying(fact)()

factorial(6) // => 720

最终达到了目的，得到了独参函数factorial。

在Lambda演算中的所有函数都是匿名的，它们没有名称，它们只接受一个输入变量，即独参函数。

构建一个高阶函数，它接受一个函数作为参数，并让这个函数将自身作为参数调用其自身:

const invokeWithSelf = f => f(f)

用Lambda演算写出递归栗子：

const fact = f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(f)(n * total)(n - 1)

const factorial = fact(fact)()

factorial(6) // => 720

什么是Y组合子？

Y = λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx))

η-变换后的写法：

Y = λf.(λx.f(λv.x(x)(v)))(λx.f(λv.x(x)(v)))

用ES6箭头函数写出lambda演算Y组合子

const Y = f =>
    (x => f(v => x(x)(v)))
    (x => f(v => x(x)(v)))

const fact = f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(f)(n * total)(n - 1)

const factorial = fact(fact)()

factorial(6) // => 720

上面代码有一种模式被重复了三次， f(f) 两次， fact(fact) 一次。为了让代码更加 DRY ，尝试把 f(f) 解耦，当作参数传递。

const fact = f => 
  (g => (total = 1) => n => n === 1 ? total : g(n * total)(n - 1))(f(f))
  
const factorial = fact(fact)()

factorial(6) // => Maximum call stack size exceeded

当然上面代码运行结果会栈溢出，因为 JavaScript 中参数是 按值传递 的，形参必须先求值再作为实参传入函数，f(f) 作为参数传递时，会无限递归调用自身，导致栈溢出。这时候就需要用到 lambda 演算中的 η-变换。其原理是用到了惰性求值。

什么是η-变换？如果两个函数对于任意的输入都能产生相同的行为（即返回相同的结果），那么可以认为这两个函数是相等的。

lambda演算中有效的η-变换：f = λx.(fx)

JavaScript中的η-变换：f = x => f(x)

根据η-变换，f(f) 作为函数代入，等价于 x => f(f)(x)

const fact = x => (f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(n * total)(n - 1))(v => x(x)(v))

const factorial = fact(fact)()

factorial(6) // => 720

也许你也已经发现f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(n * total)(n - 1)这就是柯里化后的递归方法。抽离出 fact 方法。

const fact = f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(n * total)(n - 1)

const factorial = (x => fact((v => x(x)(v))))(x => fact((v => x(x)(v))))()

factorial(6) // => 720

将具名 fact 函数变为匿名函数，构建一个工厂函数 Y，将 fact 函数作为参数传入。

const fact = f => (total = 1) => n => n === 1 ? total : f(n * total)(n - 1)

const Y = f => (x => f(v => x(x)(v)))
               (x => f(v => x(x)(v))) // 瞧，这不就是黑魔法Y组合子嘛

const factorial = Y(fact)()

factorial(6) // => 720

用Y组合子实现的匿名递归函数，它不仅适用于阶乘函数的递归处理，任意递归工厂函数经过Y函数后，都能得到真正的递归函数。

在数学上，斐波那契数列是以递归的方法定义的：

用文字来说：就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契系数就由之前的两数加和。

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233......

用JavaScript递归实现：

// 非尾递归
function fibonacci (n) {
  if ( n <= 1 ) return 1;
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

fibonacci(6) // 13

使用尾调用优化的斐波那契数列

// 尾递归写法
function fibonacci (n , before , after) {
  if( n <= 1 ) return before;
  return fibonacci (n - 1, after, before + after);
}

fibonacci(6, 1, 2) // 13

使用lambda表达式的斐波那契数列

// ES6 lambda calculus
const Y = f => (x => f(v => x(x)(v)))(x => f(v => x(x)(v)))

const fibonacci = Y(
  f => (n) => n <= 1 ? 1 : f(n - 1) + f(n - 2)
)

fibonacci(6) // 13

在生活中，德罗斯特效应（Droste effect）是递归的一种视觉形式，指一张图片部分与整张图片相同，一张有德罗斯特效应的图片，在其中会有一小部分是和整张图片类似。 而这小部分的图片中，又会有一小部分是和整张图片类似，以此类推，……。德罗斯特效应的名称是由于荷兰著名厂牌德罗斯特（Droste） 可可粉的包装盒，包装盒上的图案是一位护士拿着一个有杯子及纸盒的托盘，而杯子及纸盒上的图案和整张图片相同

我在做repository-tree项目的过程中学习到了很多之前没有接触过的东西，这也是我的初衷，想到各种各样的idea，去想办法实现它，过程中自然会提升自己的见识。以此篇博文激励自己继续学习下去。

Lambda演算

JS 函数式编程指南

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