背包问题学习笔记

xiao7cn 发布于2019-08-20 18:05 / 2365人阅读

摘要：状态转移方程背包问题的状态转移方程是其中即表示前件物品恰放入一个容量为的背包可以获得的最大价值。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

01背包 01背包的概念

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

状态转移方程

01背包问题的状态转移方程是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

其中,即fi表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
上述方程右边可以理解为两种情况,取最优值.
情况一:第i件不放进去,这时所得价值为:fi-1;
情况二:第i件放进去,这时所得价值为:fi-1]+w[i];

情况二的意思是,如果第i件放进去,那么在容量V-c[i]里就要放进前i-1件物品.(引用自)

案例解析

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的.
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。(引用自)

编程实现

var n = 5; //物品数量,该参数可以自行设定
var v = 10; //背包体积,该参数可自行设定
var volumArray = [4, 3, 5, 2, 5];//物品体积组成的数组,该参数可自行设定
var valueArray = [9, 6, 1, 4, 1];//物品价值组成的数组,该参数可自行设定
var tempArray = [];

for (let a = 0; a < n; a++) {
    tempArray[a] = [];
    for (let b = 0; b < v; b++) {
        tempArray[a].push(0);
    }
}

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < v; j++) {
        tempArray[i][j] = i == 0 ? 0 : tempArray[i - 1][j];
        if (i > 0 && j >= volumArray[i - 1]) {
            tempArray[i][j] = tempArray[i][j] >= tempArray[i - 1][j - volumArray[i - 1]] + valueArray[i - 1] ? tempArray[i][j] : tempArray[i - 1][j - volumArray[i - 1]] + valueArray[i - 1];
        }
    }
}

console.log(tempArray[n - 1][v - 1]);

完全背包 完全背包的概念

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

状态转移方程

参考上述01背包的转移方程,不难得出:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

伪代码实现如下:

for i=1...N
    for v=0...V
        for k=1...v/w[i]
            f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]};

案例解析

给你六种面额1,5,10,20,50,100元的纸币,假设每种币值的数量都足够多,编写程序求组成N元的不同组合个数.

function fn (all) {
    const arr = [1, 5, 10, 20, 50, 100],
        len = arr.length,
        res = [];
    for (let i = 0; i <= len; i++) {
        res[i] = [];
        res[i][0] = 1;
    }
    for (let j = 1; j <= all; j++) {
        res[0][j] = 0;
    }
    for (let i = 1; i <= len; i++) {
        for (let j = 1; j <= all; j++) {
            res[i][j] = 0;
            for (let k = 0; k <= j / arr[i - 1]; k++) {
                res[i][j] += res[i - 1][j - k * arr[i - 1]];
            }
        }
    }
    return res[len][all];
}

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