摘要:在这里,边界被设置为该数组中可以得到的子数组元素和的最小值和最大值。在确定了数组元素和的上界和下界之后,就需要找出一种方法,来不断压缩区间直到最后一种。可以使用中间位置作为数组元素和的边界,即假设所有的连续数组的和都不会超过值。
题目要求
Given an array which consists of non-negative integers and an integer m, you can split the array into m non-empty continuous subarrays. Write an algorithm to minimize the largest sum among these m subarrays. Note: If n is the length of array, assume the following constraints are satisfied: 1 ≤ n ≤ 1000 1 ≤ m ≤ min(50, n) Examples: Input: nums = [7,2,5,10,8] m = 2 Output: 18 Explanation: There are four ways to split nums into two subarrays. The best way is to split it into [7,2,5] and [10,8], where the largest sum among the two subarrays is only 18.
将一个长度为n的正整数数组分割为m个非空的连续子数组,并分别计算每个子数组中所有元素的和。求一种分割方式,使得该分割方式生成的最大子数组和为所有分割方式中最小的。
比如题目中的例子nums = [7,2,5,10,8],m = 2
一共有四种分割方式:
[7], [2,5,10,8]
[7,2], [5,8,10]
[7,2,5], [8,10]
[7,2,5,8], [10]
其中第三种分割得到的最大子数组的和 是所有分割中最小的
思路一:动态规划首先,我们可以通过递归的方式来遍历所有的分割方式,从而找到所有分割方式中最符合要求的那一种结果。代码如下:
public int splitArray(int[] nums, int m) { //计算[0...i]中所有元素的和 int[] sums = new int[nums.length+1]; for(int i = 1 ; i<=nums.length ; i++) { sums[i] = nums[i-1] + sums[i-1]; } return splitArray(nums, m, 0, sums); } //计算从cur位置开始,将其分割为m个子数组的最小分割场景 public int splitArray(int[] nums, int m, int cur, int[] sums) { if(m == 1) { return sums[nums.length] - sums[cur]; } int min = Integer.MAX_VALUE; int diff = Integer.MAX_VALUE; for(int i = cur+1 ; i<=nums.length-m+1 ; i++) { //当前元素为止,左边的子数组的元素和 int left = sums[i]-sums[cur]; //对右边的剩余元素递归的调用splitArray方法 int right = splitArray(nums, m-1, i, sums); //如果出现二者之间的差递增的情况,则说明距离最优分割越来越远,则停止继续尝试 if(diff < Math.abs(left - right)) { break; } diff = Math.abs(left - right); min = Math.min(min, Math.max(left, right)); } return min; }
这种方法在大数据量的场景下会出现超时的问题,本质在于我们没有足够的复用中间的所有场景,如对于[i-j]这个子数组的k次分割的最优结果。如果我们记录从i到数组结尾进行k次分割的最优结果,该结果记录为dp[i][k],则从j到数组结尾进行k+1次分割的最优结果为min(max(num(j), dp[j+1][k]), max(nums(j)+num(j+1), dp[j+2][k])... )
代码如下:
public int splitArray(int[] nums, int m) { int L = nums.length; //记录0-i的元素和 int[] S = new int[L+1]; S[0]=0; for(int i=0; i思路二:二分法 这是一个非常难想到的方法。二分法的难点一直在于如何划分初始边界,以及如何逐渐缩小边界并且确保左右指针可以相遇。在这里,边界被设置为该数组中可以得到的子数组元素和的最小值和最大值。
根据基本常识可知,数组的最大元素决定了该数组分割出的子数组的元素和的下界,而数组的元素和上界一定不会超过数组所有元素的和。
在确定了数组元素和的上界和下界之后, 就需要找出一种方法,来不断压缩区间直到最后一种。可以使用中间位置作为数组元素和的边界,即假设所有的连续数组的和都不会超过mid值。假如按照这种方式得到的分割结果大于了规定的m个,则说明mid值作为最大元素和上界并不能够做到只分割出m个子数组,因此最大元素和上界一定在mid和有界中间。同理,假如按照这种方式得到的分割结果小于等于规定的m个,则说明mid值作为最大元素和上界能够满足分割出m个子数组,但是可能还存在更优解。通过这种二分法思路得到的最后结果就是所需要的最小分割结果。
public int splitArray2(int[] nums, int m) { long sum = 0; int max = Integer.MIN_VALUE; for(int i = 0 ; itarget) { sum = nums[i]; count++; if(count > m) { return false; } } } return true; }
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