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数据结构与算法——堆

hankkin / 3115人阅读

摘要:堆排序的时间复杂度非常的稳定,是,并且是原地排序算法,具体是怎么实现的呢我们一般把堆排序分为两个步骤建堆和排序。

1. 什么是堆

堆(Heap),其实是一种特殊的二叉树,主要满足了二叉树的两个条件:

堆是一种完全二叉树,还记得完全二叉树的定义吗?叶节点都在最底下两层,最后一层的节点都靠左排列,并且除了最后一层,其他层的节点个数都要达到最大,这种树叫做完全二叉树。

堆中的每个节点的值都必须大于等于(或者小于等于)其左右子节点的值。

对于堆中的每个节点都大于等于其左右子节点的值,叫做大顶堆,反之,则叫做小顶堆。看看下面的图就能懂了。

其中,1 是大顶堆,2 是小顶堆,3 不是堆。

2. 堆是如何存储的?

其实,堆可以按照完全二叉树的存储方式来储存,因为完全二叉树是比较省空间的,所以我们可以直接用数组来存储,然后按照数组下标来取出堆中数据。参照下图,来看看堆的存储:

其中,对于任意位置上的节点 i ,其左子节点是 2 * i + 1,右子节点是 2 * i + 2,父节点是 (i - 1) / 2

3. 堆的几种操作

明白了堆是怎样储存的,我们在来看看堆最常见的两个操作:往堆中插入元素和删除堆顶元素。

首先,如果要往堆中插入一个元素,我们先将其插入到数组中最后一个位置,然后与其父节点的值进行比较,如果大于父节点,则交换位置,继续比较。看看下面的图你就明白了:

交换操作的代码,我也放到这里:

public class Heap {
    private int[] data;//存储堆数据的数组
    private int n;//堆中可存储的元素容量
    private int size;//堆中存储的元素个数

    public Heap(int capacity) {
        this.data = new int[capacity];
        this.n = capacity;
        this.size = 0;
    }

    //往堆中插入数据
    public void insert(int value){
        if (size >= n) return;//堆满了
        data[size] = value;
        int i = size;

        while ((i - 1) / 2 >= 0 && data[i] > data[(i - 1) / 2]){
            //交换data[i] 极其父节点 data[(i - 1) / 2] 的值
            swap(data, i, (i - 1) / 2);
            i = (i - 1) / 2;
        }
        size ++;
    }
    
    //交换数组两个位置的元素
    private void swap(int[] data, int i, int j){
        int temp = data[i];
        data[i] = data[j];
        data[j] = temp;
    }
}

接下来看看第二种操作:删除堆顶元素。

根据堆的定义,堆顶元素其实就是堆的最大或最小元素。所以删除堆顶元素,我们只需要移除数组中的第 0 个元素,然后再进行堆化,让堆继续保持顺序。那该怎么进行堆化呢?

首先我们直接将堆中的最后一个元素移到堆顶,然后与其左右子节点的值进行比较,找到较大的那么子节点,交换位置,然后继续比较,你可以结合代码来理解一下:

    //删除数据,如果是大顶堆,则删除的是堆中的最大元素
    //如果是小顶堆,则删除的堆中的最小元素
    public int removeMax(){
        if (size == 0) return -1;//堆为空
        //将数组中的最后一个元素,放到第一个位置
        int result = data[0];
        data[0] = data[size - 1];
        data[-- this.size] = 0;
        //进行堆化
        heapify(data, size, 0);
        return result;
    }
    
    //堆化函数
    private void heapify(int[] data, int size, int i){
        while (true){
            int max = i;
            if ((2 * i + 1) < size && data[i] < data[2 * i + 1]) max = 2 * i + 1;
            if ((2 * i + 2) < size && data[max] < data[2 * i + 2]) max = 2 * i + 2;
            if (max == i) break;
            swap(data, i, max);
            i = max;
        }
    }
4. 堆排序

现在来看看里用堆这种数据结构是怎么实现排序功能的。堆排序的时间复杂度非常的稳定,是O(nlogn),并且是原地排序算法,具体是怎么实现的呢?我们一般把堆排序分为两个步骤:建堆和排序。

建堆
对于一个未排序的数组,例如 data[3,5,8,2,1,4,6],其原始的结构是这样的:

可以看到第一个非叶子节点是 8,所以我们从 8 开始从上往下堆化,然后依次是 5 - 3,堆化后的效果就是这样的:

这样,我们就将一个无序的数组堆化成了具有堆的性质的数据,还需要说明以下,如果确定一个堆的第一个非叶子节点是多少呢?实际上,对于长度为 length 的数组,(length - 2) / 2下标对应的数据,就是堆中的第一个非叶子节点。接下来的操作就是排序了。

排序
排序的过程类似于上面说到的删除堆顶元素,因为堆顶元素是堆的最大或最小元素,以大顶堆为例,我们只需要将堆顶元素和数组中最后一个元素交换位置,然后重新构造堆,继续交换堆顶元素和数组中最后一个未排序数据,知道堆中元素剩下最后一个。

示意图如下:

整个建堆和排序的实现的代码也贴在这里:

    //堆排序
    public void heapSort(int[] data){
        int length = data.length;
        if (length <= 1) return;
        //建堆
        buildHeap(data);

        while (length > 0){
            swap(data, 0, --length);
            heapify(data, length, 0);
        }
    }
    //建堆
    //从非叶子节点依次堆化
    private void buildHeap(int[] data){
        int length = data.length;
        for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; -- i) {
            heapify(data, length, i);
        }
    }

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