摘要：原文地址数据结构学习笔记时间复杂度时间复杂度定义在进行算法分析时，语句总的执行次数是关于问题规模的函数，进而分析随的变化情况并确定的数量级。同理，对于单纯分支结构不包含在循环中的或语句而言，执行的次数都是恒定的，其时间复杂度也是。
原文地址：数据结构学习笔记-时间复杂度
时间复杂度定义在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法的时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
推导大O阶方法如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们可以参考下面的推导方法。
推导大O阶： 1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。 得到的结果就是大O阶。
下面让我们根据这个推导方法来看几个例子。
常数阶int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */ sum = (1 + n) * n/2; /* 执行一次 */ System.out.println(sum); /* 执行一次 */
这段程序的执行次数是f(3)。我们使用大O阶的方法推导一下：
将常数项3改为1。
保留最高阶项。
没有最高阶项，所以这段程序的时间复杂度为O(1).
可以试想一下，如果这段代码里的
sum = (1 + n) * n/2; /* 执行一次 */
一共有10句，那么时间复杂度是多少呢？
事实上，无论有多少句该代码，都不过是3次和多次的执行差异。像这种执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
注意：无论这个常数是多少，我们都记作O(1)。
同理，对于单纯分支结构（不包含在循环中的if或switch语句）而言，执行的次数都是恒定的，其时间复杂度也是O(1)。
线性阶线性阶的循环结构会复杂一些。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集的运行次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环时间复杂度为O(n)，因为循环中的代码须要执行n次。
for(int i = 0; i < n; i++){
}
对数阶
int count = 1;
while(count < n){
count = count * 2;
}
由于每次count乘以2之后，就离n更近了一些。也就是是，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n得到x=log2n(以2为底n的对数)。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
平方阶下面例子是一个循环嵌套，它的内循环时间复杂度为O(n)。
int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
}
}
对于外循环不过是这个时间复杂度为O(n)的语句循环了n次，所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
如果外循环的次数改为了m，那么时间复杂度就变为了O(m*n)。
所以我们可以总结出来：循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以循环运行的次数。
那么，下面这段代码的时间复杂度是多少呢？
int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){
}
}
我们可以推导一下当i = 0 时，内循环执行了n次；当i = 1时，执行了n - 1次，……当 i = n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：
n + (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2
用推导大O阶的方法
由于没有加法常数，可以不考虑
只保留最高阶，也就是保留n^2/2
去除常数的相乘项，也就是去除1/2
最终，这段代码的时间复杂度就是O(n^2)。
常见的时间复杂度该表列举了一些常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 |
| 2n+3 | O(n) | 线性阶 |
| 3n^2+2n+1 | O(n^2) | 平方阶 |
| 5log2n(2为底n的对数)+20 | O(logn) | 对数阶 |
| 2n+3log2n(2为底n的对数)+19 | O(nlgon) | nlogn阶 |
| 6n^3+2n^2+3n+4 | O(n^3) | 立方阶 |
| 2^n | O(2^n) | 指数阶 |
常用的时间复杂度从小到大依次是：
O(1)
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