快速排序分治算法解析

FrancisSoung 发布于2019-08-16 10:34 / 2793人阅读

摘要：快速排序分治算法解析声明文章均为本人技术笔记，转载请注明出处快速排序分治算法思路复杂度分析由于切分算法性能不稳定，快排最差时间复杂度为，平均时间复杂度为，空间复杂度为快速排序划分算法需要升序排序条件下，对于一个轴点，一次切分操作完成后保

快速排序分治算法解析 声明

文章均为本人技术笔记，转载请注明出处：https://segmentfault.com/u/yzwall

1.快速排序-分治算法思路

复杂度分析：由于切分算法性能不稳定，快排最差时间复杂度为$O(n ^ 2)$，平均时间复杂度为$O(nlog(n))$，空间复杂度为$O(1)$；

2. 快速排序-划分算法(Partition)

需要升序排序条件下，对于一个轴点$pivot$，一次切分操作完成后保证：

$<= pivot$的都在$pivot$左边，$>= pivot$的都在$pivot$右边

反之，在降序排序条件下，保证

$>= pivot的都在$pivot$左边, $<= pivot$的都在$pivot$右边

2.1 快速排序不稳定性

快速排序的不稳定性在于轴点$pivot$的选择上，如果$pivot$选择数组一边，排序退化为冒泡排序($O(n^2)$)，因此$pivot$尽量选择均匀，通常进行二者取中：
$$
pivot = nums[start + (end - start) / 2]
$$

2.2 leftIndex <= rightIndex辨析

while (leftIndex <= rightIndex) {
    // 在左侧寻找不合法数， A[leftIndex] < pivot，保证切分均匀
    while (leftIndex <= rightIndex && A[leftIndex] < pivot) {
        ...
    }
    
    // 在右侧寻找不合法数， A[rightIndex] > pivot，保证切分均匀
    while (leftIndex <= rightIndex && A[rightIndex] > pivot) {
        ...
    }
    
    // 找到不合法数，将不合法数放入对应区间内
    if (leftIndex <= rightIndex) {
        ...
    }
    quickSort(A, start, rightIndex);
    quickSort(A, leftIndex, end);
}

leftIndex <= rightIndex操作保证分治快排时，分治子数组没有重叠部分，因此如果将
leftIndex <= rightIndex改成leftIndex < rightIndex，递归找不到出口，造成StackOverFlow
当划分操作完成后，必然有：
$$
rightIndex < leftIndexnums
$$

$$
nums[rightIndex] <= nums[leftIndex]
$$

2.3 保证$pivot$切分均匀

// 在左侧寻找不合法数， A[leftIndex] < pivot，保证切分均匀
while (leftIndex <= rightIndex && A[leftIndex] < pivot) {
     leftIndex++;
}

// 在右侧寻找不合法数， A[rightIndex] > pivot，保证切分均匀
while (leftIndex <= rightIndex && A[rightIndex] > pivot) {
    rightIndex--;
}

$=pivot$的数在切分过程中可以放在$pivot$左右两边：为了防止当$=pivot$在数组中大量出现时，如果严格保证$=pivot$的数在$pivot$某一侧，会造成$pivot$选择不均匀，因此必须保证$=pivot$的数字尽量在$pivot$两侧均匀分布，因此整体有序的判断条件为A[leftIndex] < pivot和A[rightIndex] > pivot；

2. 快速排序-分治法递归实现代码

/**
 * http://www.lintcode.com/en/problem/sort-integers-ii/
 * 快速排序一个数组（升序）
 * @author yzwall
 */
class Solution {
    
    public void sortIntegers2(int[] A) {
        if (A == null || A.length == 0) {
            return;
        }
        quickSort(A, 0, A.length - 1);
    }
    
    private void quickSort(int[]A, int start, int end) {
        //　递归出口　单元素不做排序
        if (start >= end) {
            return;
        }
        
        // 切分操作时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
        int leftIndex = start;
        int rightIndex = end;
        int pivot = A[start + (end - start) / 2];
        
        // leftIndex <= rightIndex, < 导致栈溢出
        while (leftIndex <= rightIndex) {
            // 在左侧寻找不合法数， A[leftIndex] < pivot，保证切分均匀
            while (leftIndex <= rightIndex && A[leftIndex] < pivot) {
                leftIndex++;
            }
            
            // 在右侧寻找不合法数， A[rightIndex] > pivot，保证切分均匀
            while (leftIndex <= rightIndex && A[rightIndex] > pivot) {
                rightIndex--;
            }
            
            // 找到不合法数，将不合法数放入对应区间内
            if (leftIndex <= rightIndex) {
                int temp = A[leftIndex];
                A[leftIndex] = A[rightIndex];
                A[rightIndex] = temp;
                // 继续查找不合法数
                leftIndex++;
                rightIndex--;
            }
        }
        
        /**
         * 跳出循环，leftIndex与rightIndex已互换位置
         * 分治时间复杂度O(logn), 空间复杂度O(1)
         */
        quickSort(A, start, rightIndex);
        quickSort(A, leftIndex, end);
    }
}

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