摘要:前言本篇主要讲坐标旋转及其应用,这是编程动画必不可少的技术。坐标旋转模拟场景已知一个中心点,旋转前物体,旋转弧度求旋转后物体。坐标旋转常见的应用就是处理这种情况,将不规律方向的复杂问题简单化。
前言
本篇主要讲坐标旋转及其应用,这是编程动画必不可少的技术。
阅读本篇前请先打好前面的基础。
本人能力有限,欢迎牛人共同讨论,批评指正。
模拟场景:已知一个中心点(centerX,centerY),旋转前物体ball(x1,y1),旋转弧度(rotation);求旋转后物体(x2,y2)。(如下图)
坐标旋转就是说围绕某个点旋转坐标,我们要依据旋转的角度(弧度),计算出物体旋转前后的坐标,一般有两种方法:
简单坐标旋转灵活运用前章节的三角函数知识可以很容易解决,基本思路:
计算物体初始相对于中心点的位置;
使用atan2计算弧度angle;
使用勾股定理计算半径radius;
angle+rotation后使用cos计算旋转后x轴位置,用sin计算旋转后y轴位置。
下面是示例是采用这种方法的圆周运动,其中vr为ball相对于中心点的弧度变化速度,由于旋转半径是固定的,所以没有在动画循环里每次都获取。
完整示例:简单坐标旋转演示
/** * 简单坐标旋转演示 * */ window.onload = function () { const canvas = document.getElementById("canvas"); const context = canvas.getContext("2d"); const ball = new Ball(); ball.x = 300; ball.y = 200; // 弧度变化速度 const vr = 0.05; // 中心点位置设定在画布中心 const centerX = canvas.width / 2; const centerY = canvas.height / 2; // ball相对与中心点的距离 const dx = ball.x - centerX; const dy = ball.y - centerY; // ball相对与中心点的弧度 let angle = Math.atan2(dy, dx); // 旋转半径 const radius = Math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2); (function drawFrame() { window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas); context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); ball.x = centerX + Math.cos(angle) * radius; ball.y = centerY + Math.sin(angle) * radius; angle += vr; ball.draw(context); }()); };坐标旋转公式
上面的方法对于单个物体来说是很合适的,特别是角度和半径只需计算一次的情况。但是在更动态的场景中,可能需要旋转多个物体,而他们相对于中心点的位置各不相同。所以每一帧都要计算每个物体的距离、角度和半径,然后把vr累加在角度上,最后计算物体新的坐标。这样显然不会是优雅的做法。
理想的做法是用数学方法推导出旋转角度与位置的关系,直接每次代入计算即可。推导过程如下图:
其实推导过程不重要,我们只需要记住如下两组公式,其中dx2和dy2是ball结束点相对于中心点的距离,所以得到物体结束点,还要分别加上中心点坐标。
// 正向选择 dx2 = (x1 - centerX) * cos(rotation) - (y1 - centerY) * sin(rotation) dy2 = (y1 - centerY) * cos(rotation) + (x1 - centerX) * sin(rotation) // 反向选择 dx2 = (x1 - centerX) * cos(rotation) + (y1 - centerY) * sin(rotation) dy2 = (y1 - centerY) * cos(rotation) - (x1 - centerX) * sin(rotation)
下面是示例是采用这种方法的圆周运动,其中dx1和dy1是ball起始点相对于中心点的距离,dx2和dy2是ball结束点相对于中心点的距离。
完整示例:高级坐标旋转演示
/** * 高级坐标旋转演示 * */ window.onload = function () { const canvas = document.getElementById("canvas"); const context = canvas.getContext("2d"); const ball = new Ball(); ball.x = 300; ball.y = 200; // 弧度变化速度 const vr = 0.05; // 中心点位置设定在画布中心 const centerX = canvas.width / 2; const centerY = canvas.height / 2; // 由于vr是固定的可以先计算正弦和余弦 const cos = Math.cos(vr); const sin = Math.sin(vr); (function drawFrame() { window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas); context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); // ball相对与中心点的距离 const dx1 = ball.x - centerX; const dy1 = ball.y - centerY; // 代入公式求出ball在结束相对与中心点的距离 const dx2 = dx1 * cos - dy1 * sin; const dy2 = dy1 * cos + dx1 * sin; // 求出x2,y2 ball.x = centerX + dx2; ball.y = centerY + dy2; ball.draw(context); }()); };斜面反弹
前面的章节中我们介绍过越界的一种处理办法是反弹,由于边界是矩形,反弹面垂直或水平,所以可以直接将对应轴的速度取反即可,但对于非垂直或水平的反弹面这种方法是不适用的。
坐标旋转常见的应用就是处理这种情况,将不规律方向的复杂问题简单化。
基本思路:(旋转前后如图)
使用旋转公式,旋转整个系统,将斜面场景转变为水平场景;
在水平场景中处理反弹;
再旋转回来。
示例是一个球掉落到一条线上,球受到重力加速度影响下落,碰到斜面就会反弹,每次反弹都会损耗速度。
完整示例:斜面反弹示例
window.onload = function () { const canvas = document.getElementById("canvas"); const context = canvas.getContext("2d"); const ball = new Ball(); // line类构造函数参数(开始点x轴坐标,开始点y轴坐标,结束点x轴坐标,结束点y轴坐标) const line = new Line(0, 0, 500, 0); // 设置重力加速度 const gravity = 0.2; // 设置反弹系数 const bounce = -0.6; ball.x = 100; ball.y = 100; line.x = 0; line.y = 200; line.rotation = 10 * Math.PI / 180; const cos = Math.cos(line.rotation); const sin = Math.sin(line.rotation); (function drawFrame() { window.requestAnimationFrame(drawFrame, canvas); context.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height); ball.vy += gravity; ball.x += ball.vx; ball.y += ball.vy; // 获取ball与line的相对位置 let x1 = ball.x - line.x; let y1 = ball.y - line.y; // 旋转坐标系(反向) let y2 = y1 * cos - x1 * sin; // 依据旋转值执行反弹 if (y2 > -ball.radius) { // 旋转坐标系(反向) const x2 = x1 * cos + y1 * sin; // 旋转速度(反向) const vx1 = ball.vx * cos + ball.vy * sin; let vy1 = ball.vy * cos - ball.vx * sin; y2 = -ball.radius; vy1 *= bounce; // 将所有东西回转(正向) x1 = x2 * cos - y2 * sin; y1 = y2 * cos + x2 * sin; ball.vx = vx1 * cos - vy1 * sin; ball.vy = vy1 * cos + vx1 * sin; ball.x = line.x + x1; ball.y = line.y + y1; } ball.draw(context); line.draw(context); }()); };
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