python 算法

摘要：归并排序的时间复杂度是下列哪个问题可以用贪心算法求解哈夫曼编码问题递归算法和递归函数主分析法求时间复杂度当这种情况意味着递归树上各层结点的和从根结点开始依次递增由于渐进表示可以去掉低次项因此得。给出一个算法要求用最小的箱子数将物品全部装入。

定义：算法就是按照一定步骤解决问题的办法

属性：

正确：就是可以正确的求解问题

快速：就是时间复杂度要尽量小

有穷性：要在有限个步骤解决问题

输入

输出

渐进分析法为什么可以做到与算法运行硬件环境无关？

算法分析时往往假设输入规模n足够大,甚至趋近于无穷大。这样的假设,意味着我们关注的是算法运算时间的增长率,也就是,随着输入规模n的增长,T(n)的增长率。当n趋向于无穷大时,决定T(n)增长率的便是T(n)中的高次项,从而可以忽略T(n)中的低次项以及高次项前的常数项。这些低次项或者高次项前的常数项,往往是机器性能、程序设计语言的性能和编译器性能等因素产生,而这些在算法时间复杂度分析中都是需要略去的次要因素。

为什么说多项式时间复杂度的算法要优于指数时间复杂度的算法?

二分搜索

def binary_search(A,k):
    first=0
    last= len(A)-1 
    found=False
    while first<=last and not found:
        midpoint=(first+last)//2
        if A[midpoint]==k: 
            found=True
        else:
            if k < A[midpoint]:
                last=midpoint-1 
            else:
                first=midpoint+1
    return found

确界Θ、上界Ο、下界Ω

1.动态规划算法的基本要素为最优子结构性质与重叠子问题性质

2.能采用贪心算法求最优解的问题，一般具有的重要性质为最优子结构性质与贪心选择性质

3.使用分治法求解不需要满足的条件是（A ）。

A 子问题必须是一样的 B 子问题不能够重复

C 子问题的解可以合并 D 原问题和子问题使用相同的方法解

4.矩阵连乘问题的算法可由 动态规划 设计实现。

5..算法是由若干条指令组成的有穷序列，且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质。

6.归并排序的时间复杂度是c

(a)n (b)n^2 (c)nlgn (d)lgn

7.下列哪个问题可以用贪心算法求解( D )D.哈夫曼编码问题

主分析法求时间复杂度

当f(n) < nlogba,这种情况意味着,递归树上各层结点的和从根结点开始依次递增,由于渐进表示可以去掉低次项,因此得T(n)=Θ(nlogba)。

当f(n) = nlogba,k是大于等于0的常数。这种情况意味着,递归树上各层结点的和从根结点开始并没有显著变化,因此得 T(n)=Θ( nlogba*logn)

当f(n) > nlogba,同时对于常数c<1满足af(n/b)≤cf(n)。这种情况意味着,递归树上各层结点的和从根结点开始依次递减,因此得T(n)=Θ(f(n)。

给定正整数N,计算所有长度为N但没有连续1的二分字符。比如,N=2时,输

出为[00,01,10]:当N=3时,输出为1000,001,010,100,101。

import math

N = int(input("输入N:"))

def ss(a):
    a = bin(a)[2:]
    j = 6
    for i in a:
        if j == i == "1":
            return False
        j = i
    return True

def printN(a, N):
    a = bin(i)[2:]
    while len(a) < N:
        a = "0" + a
    print(a)


for i in range(int(math.pow(2,N))):
    if ss(i):
        printN(i,N)

统计逆序数问题

#_*_coding:UTF-8_*_

import random


#逆序计算的简单算法
def count_inversions_simple(A):
    inv_count = 0
    inv_list = []
    for i in range(len(A)):
        for j in range(i, len(A)):
            if A[i] > A[j]:
                inv_count += 1
                inv_list.append([A[i],A[j]])
    return inv_count, inv_list


#逆序计算的分治算法   边排序边找逆序数
#类似归并排序，加入了逆序数计算 T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(nlogn)
def count_inversions_dc(A):
    if len(A) <= 1:        #边界条件
        return 0, A
    middle = len(A) // 2
    leftA = A[:middle]
    rightA = A[middle:]
    countLA, leftA = count_inversions_dc(leftA)
    countRA, rightA = count_inversions_dc(rightA)
    countLRA, mergedA = merger_and_count(leftA,rightA)
    return countLA + countRA + countLRA, mergedA


#前提：输入的A,B是有序的 
def merger_and_count(A,B):
    i, j, inv_count = 0, 0, 0
    alist = []
    while i < len(A) and j < len(B):
        if A[i] < B[j]:
            alist.append(A[i])
            i += 1
        else:            # A[i] > B[j] 则B[j]与A右边所有元素构成逆序
            inv_count += len(A) - i
            alist.append(B[j])
            j += 1
    while i < len(A):
        alist.append(A[i])
        i += 1
    while j < len(B):
        alist.append(B[j])
        j += 1
    return inv_count, alist



def main():
    list = [random.randint(1,10) for x in range(10)]
    sum, alist = count_inversions_dc(list)
    print(str(list))
    print("逆序数："+str(sum)+",排序后： "+str(alist))
    


if __name__ == "__main__":
    main()

第k小的数

方法一（课本）：

#_*_coding:utf-8_*_

import random

def select_fct(array, k):
    if len(array) <= 10:
        array.sort()
        return array[k]
    pivot = get_pivot(array)
    array_lt, array_gt, array_eq = patition_array(array, pivot)
    if k < len(array_lt):
        return select_fct(array_lt, k)
    elif k < len(array_lt) + len(array_eq):
        return array_eq[0]
    else:
        normalized_k = k - (len(array_lt) + len(array_eq))
        return select_fct(array_gt, normalized_k)

def get_pivot(array):
    subset_size = 5
    subsets = []
    num_medians = len(array) // subset_size
    if (len(array) % subset_size) > 0:
        num_medians += 1
    for i in range(num_medians):
        beg = i * subset_size
        end = min(len(array), beg+subset_size)
        subset = array[beg:end]
        subsets.append(subset)
    medians = []
    for subset in subsets:
        median = select_fct(subset, len(subset)//2)
        medians.append(median)
    pivot = select_fct(medians, len(subset)//2)
    return pivot

def patition_array(array, pivot):
    array_lt = []
    array_gt = []
    array_eq = []
    for item in array:
        if item < pivot:
            array_lt.append(item)
        elif item > pivot:
            array_gt.append(item)
        else:
            array_eq.append(item)
    return array_lt, array_gt, array_eq


def main():
    num = 20
    array = [random.randint(1,100) for x in range(num)]
    random.shuffle(array)         #random.shuffle(x[, random])：用于将一个列表中的元素打乱
    random.shuffle(array)
    k = 7
    print(sorted(array))
    kval = select_fct(array, k)
    print("第八小："+str(kval))
    sorted_array = sorted(array)
    assert sorted_array[k] == kval    #python assert断言是声明其布尔值必须为真的判定，如果发生异常就说明表达示为假。
    
if __name__ == "__main__":
    main()

方法二：

#_*_coding:utf-8_*_
#分治法解决第k小的数
import random

def partition(nums):
    pi = nums[0]
    low = [x for x in nums[1:] if x < pi]
    high = [x for x in nums[1:] if x >= pi]
    return low, pi, high

# 查找第 k 小的元素
def solve(nums, k):
    low, pi,high = partition(nums)    #分解
    n = len(low) 
    if n+1 == k:    #k+1表示第k小
        return pi
    elif n < k:
        return solve(high,k-n-1) #减去小于和等于的
    else:
        return solve(low,k)

if __name__ == "__main__":
    list = [random.randint(1,20) for x in range(20)]
    print(sorted(list))
    print(solve(list,3)) #第三小
    print(solve(list,10)) #第十小

硬币找零，贪心算法

#零钱找零,pay是应付金额
def coin(pay):
    m = [100, 25, 10, 5, 1]
    list = []

    sort_m = sorted(m, reverse=True)
    for i in sort_m:
        coin_count = int(pay/i)
        list += [i,] * coin_count
        pay -= coin_count*i
        if pay <= 0:
            break
    return list
    
    
 def main():
    #硬币找零
    pay = 263
    print(coin(pay))
    
 if __name__ == "__main__":
    main()

digkstra算法求单源最短路径

#_*_coding:utf-8_*_
#单源最短路径问题

MAX_value = 999999

def dijkstra(graph, s):  #s是源点，d(s) = 0
    if graph is None:    # 判断图是否为空，如果为空直接退出
        return None
    dist = [MAX_value,]*len(graph)
    dist[s] = 0
    S = []
    Q = [i for i in range(len(graph))]
    dist_init = [i for i in graph[s]]
    while Q:
        u_dist = min([d for v, d in enumerate(dist_init) if v in Q])
        u = dist_init.index(u_dist)
        S.append(u)
        Q.remove(u)
 
        for v, d in enumerate(graph[u]):
            if 0 < d < MAX_value:
                if dist[v] > dist[u]+d:
                    dist[v] = dist[u]+d
                    dist_init[v] = dist[v]
                    print(dist[v])
    return dist    #到每一个点的最短路径距离
 
 
if __name__ == "__main__":
    graph_list = [  [0, 9, MAX_value, MAX_value, MAX_value, 14, 15, MAX_value],
                    [9, 0, 24, MAX_value, MAX_value, MAX_value,MAX_value,MAX_value],
                    [MAX_value, 24, 0, 6, 2, 18,MAX_value,19],
                    [MAX_value, MAX_value, 6, 0, 11,MAX_value,MAX_value, 6],
                    [MAX_value,MAX_value, 2, 11, 0, 30,20, 16],
                    [14,MAX_value,18,MAX_value,30,0,5,MAX_value],
                    [15,MAX_value,MAX_value,MAX_value,20,5,0,44],
                    [MAX_value,MAX_value,19,6,16,MAX_value,44,0]]
 
    distance = dijkstra(graph_list, 0)
    print(distance)  

给定n件物品的序列,以及容量为c的箱子。求将物品装入到箱子,每一个箱子装人的物品总重量不能超过箱子的容量。给出一个算法,要求用最小的箱子数将物品全部装入。

比如有6个物品,其重量分别为[4,8,1,42,1],箱子容量c=10。那么最少需要2个箱子将物品全部装入,其中一个箱子装入[4,4,2],另一个箱子装入[8,2]

#_*_coding:utf-8_*_

def box(list, n):
    list.sort(reverse = True)
    aa = [[] for x in range(len(list))] 

    for element in list:
        for j in range(len(list)):
            if sum(aa[j]) + element <= n:
                aa[j].append(element)
                break
              
    aa = [x for x in aa if len(x)!=0]
    return aa

list = [4,8,1,4,2,1]
print(box(list, 10))

动态规划问题

#_*_coding:utf-8_*_
#动态规划
import numpy as np 
import random

#斐波那契函数
memo = {}   #字典
def fib2(n):
    if n in memo:
        return memo[n]
    else:
        if n <= 2:
            f = 1
        else:
            f = fib2(n-1) + fib2(n-2)
        memo[n] = f
        return f

def fib_bottom_up(n):
    fib = {}             #存储结果的字典
    for k in range(n+1):
        if k <= 2:
            f = 1
        else:
            f = fib[k-1] + fib[k-2]   #填表
        fib[k] = f

    return fib[n]


#捡硬币
#自底向上实现递归策略
def bottom_up_coins(row_coins):
    table = [None] * (len(row_coins) + 1)    #申明表格
    table[0] = 0
    table[1] = row_coins[0]
    for i in range(2, len(row_coins)+1):
        table[i] = max(table[i-2] + row_coins[i-1], table[i-1])  #填表
    return table

#回溯
def trace_back_coins(row_coins, table):
    select = []
    i = len(row_coins)     #从最后一位索引
    while i >= 1:
        if table[i] > table[i-1]:
            select.append(row_coins[i-1])
            i -= 2
        else:
            i -= 1
    return select



#子序列和的最大值
def num_max(alist):    #自底向上递归
    table = [None] * (len(alist)+1)      
    table[0] = 0
    for i in range(1, len(alist)+1):
        table[i] = max(table[i-1] + alist[i-1], alist[i-1])  #计算重新开始的优劣
    return table

def tract_back_subseq(alist, table):
    select = []
    ind_max = np.argmax(table)        #得到最大值索引
    while ind_max >= 1:
        if table[ind_max] == alist[ind_max-1] + table[ind_max-1]:
            select.append(alist[ind_max-1])
            ind_max -= 1
        else:
            select.append(alist[ind_max-1])
            break
    return select


if __name__ == "__main__":
    list = [random.randint(1,20) for x in range(10)]
    print(list)
    print(fib2(10))
    print(fib_bottom_up(10))

    table = bottom_up_coins(list)
    print(trace_back_coins(list, table))

    table = num_max(list)
    print(tract_back_subseq(list, table))
    

0,1 背包问题

#_*_coding:utf-8_*_
#0 1 背包问题
#分析： k(i, x) = max(k(i-1, x), k(i-1, x-s) + v) 物品i放入背包，不放入背包

def knapSack(W, wt, val, n):
    #W是容量， wt是物品容量，val是价值， n是物品数量
    k = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for w in range(W+1):
            if i == 0 or w == 0:     #不满足条件，物品或者容量为空
                k[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w:
                k[i][w] = max(val[i-1] + k[i-1][w-wt[i-1]], k[i-1][w])
            else:
                k[i][w] = k[i-1][w]
    return k

if __name__ == "__main__":
    k = knapSack(10, [1,2,3], [2,3,4], 3)
    print(k)

习题参考