神经网络基础

摘要：要想入门以及往下理解深度学习，其中一些概念可能是无法避免地需要你理解一番，比如什么是感知器什么是神经网络张量以及运算微分梯度下降带着问题出发在开始之前希望你有一点机器学习方面的知识，解决问题的前提是提出问题，我们提出这样一个问题，对数据集进

要想入门以及往下理解深度学习，其中一些概念可能是无法避免地需要你理解一番，比如：

什么是感知器

什么是神经网络

张量以及运算

微分

梯度下降

在开始之前希望你有一点机器学习方面的知识，解决问题的前提是提出问题，我们提出这样一个问题，对MNIST数据集进行分析，然后在解决问题的过程中一步一步地来捋清楚其中涉及到的概念

MNIST数据集是一份手写字训练集，出自MNIST，相信你对它不会陌生，它是机器学习领域的一个经典数据集，感觉任意一个教程都拿它来说事，不过这也侧面证明了这个数据集的经典，这里简单介绍一下：

拥有60,000个示例的训练集，以及10,000个示例的测试集

图片都由一个28 ×28 的矩阵表示，每张图片都由一个784 维的向量表示

图片分为10类， 分别对应从0～9，共10个阿拉伯数字

压缩包内容如下：

train-images-idx3-ubyte.gz: training set images (9912422 bytes)

train-labels-idx1-ubyte.gz: training set labels (28881 bytes)

t10k-images-idx3-ubyte.gz: test set images (1648877 bytes)

t10k-labels-idx1-ubyte.gz: test set labels (4542 bytes)

上图：

图片生成代码如下：

%matplotlib inline

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from keras.datasets import mnist

(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

def plot_digits(instances, images_per_row=10, **options):
    size = 28
    images_per_row = min(len(instances), images_per_row)
    images = instances
    n_rows = (len(instances) - 1) // images_per_row + 1
    row_images = []
    n_empty = n_rows * images_per_row - len(instances)
    images.append(np.zeros((size, size * n_empty)))
    for row in range(n_rows):
        rimages = images[row * images_per_row : (row + 1) * images_per_row]
        row_images.append(np.concatenate(rimages, axis=1))
    image = np.concatenate(row_images, axis=0)
    plt.imshow(image, cmap = matplotlib.cm.binary, **options)
    plt.axis("off")

plt.figure(figsize=(9,9))
plot_digits(train_images[:100], images_per_row=10)
plt.show()

不过你不用急着尝试，接下来我们可以一步一步慢慢来分析手写字训练集

看这一行代码：

(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

MNIST数据集通过keras.datasets加载，其中train_images和train_labels构成了训练集，另外两个则是测试集：

train_images.shape: (60000, 28, 28)

train_labels.shape: (60000,)

我们要做的事情很简单，将训练集丢到神经网络里面去，训练后生成了我们期望的神经网络模型，然后模型再对测试集进行预测，我们只需要判断预测的数字是不是正确的即可

在用代码构建一个神经网络之前，我先简单介绍一下到底什么是神经网络，让我们从感知器开始

感知器是Frank Rosenblatt提出的一个由两层神经元组成的人工神经网络，它的出现在当时可是引起了轰动，因为感知器是首个可以学习的神经网络

感知器的工作方式如下所示：

左侧三个变量分别表示三个不同的二进制输入，output则是一个二进制输出，对于多种输入，可能有的输入成立有的不成立，在这么多输入的影响下，该如何判断输出output呢？Rosenblatt引入了权重来表示相应输入的重要性

此时，output可以表示为：

上面右侧的式子是一个阶跃函数，就是和Sigmoid、Relu一样作用的激活函数，然后我们就可以自己实现一个感知器：

import numpy as np


class Perceptron:
    """
    代码实现 Frank Rosenblatt 提出的感知器的与非门，加深对感知器的理解
    blog: https://www.howie6879.cn/post/33/
    """

    def __init__(self, act_func, input_nums=2):
        """
        实例化一些基本参数
        :param act_func: 激活函数
        """
        # 激活函数
        self.act_func = act_func
        # 权重 已经确定只会有两个二进制输入
        self.w = np.zeros(input_nums)
        # 偏置项
        self.b = 0.0

    def fit(self, input_vectors, labels, learn_nums=10, rate=0.1):
        """
        训练出合适的 w 和 b
        :param input_vectors: 样本训练数据集
        :param labels: 标记值
        :param learn_nums: 学习多少次
        :param rate: 学习率
        """
        for i in range(learn_nums):
            for index, input_vector in enumerate(input_vectors):
                label = labels[index]
                output = self.predict(input_vector)
                delta = label - output
                self.w += input_vector * rate * delta
                self.b += rate * delta
        print("此时感知器权重为{0}，偏置项为{1}".format(self.w, self.b))
        return self

    def predict(self, input_vector):
        if isinstance(input_vector, list):
            input_vector = np.array(input_vector)
        return self.act_func(sum(self.w * input_vector) + self.b)


def f(z):
    """
    激活函数
    :param z: (w1*x1+w2*x2+...+wj*xj) + b
    :return: 1 or 0
    """
    return 1 if z > 0 else 0

def get_and_gate_training_data():
    """
    AND 训练数据集
    """
    input_vectors = np.array([[1, 1], [1, 0], [0, 1], [0, 0]])
    labels = np.array([1, 0, 0, 0])
    return input_vectors, labels


if __name__ == "__main__":
    """
    输出如下：
        此时感知器权重为[ 0.1  0.2]，偏置项为-0.2 与门
        1 and 1 = 1
        1 and 0 = 0
        0 and 1 = 0
        0 and 0 = 0
    """
    # 获取样本数据
    and_input_vectors, and_labels = get_and_gate_training_data()
    # 实例化感知器模型
    p = Perceptron(f)
    # 开始学习 AND
    p_and = p.fit(and_input_vectors, and_labels)
    # 开始预测 AND
    print("1 and 1 = %d" % p_and.predict([1, 1]))
    print("1 and 0 = %d" % p_and.predict([1, 0]))
    print("0 and 1 = %d" % p_and.predict([0, 1]))
    print("0 and 0 = %d" % p_and.predict([0, 0]))

神经元和感知器本质上是一样的，他们的区别在于激活函数不同，比如跃迁函数改为Sigmoid函数

神经网络可以通过样本的学习来调整人工神经元的权重和偏置，从而使输出的结果更加准确，那么怎样给⼀个神经⽹络设计这样的算法呢？

以数字识别为例，假设⽹络错误地把⼀个9的图像分类为8，我们可以让权重和偏置做些⼩的改动，从而达到我们需要的结果9，这就是学习。对于感知器，我们知道，其返还的结果不是0就是1，很可能出现这样一个情况，我们好不容易将一个目标，比如把9的图像分类为8调整回原来正确的分类，可此时的阈值和偏置会造成其他样本的判断失误，这样的调整不是一个好的方案

所以，我们需要S型神经元，因为S型神经元返回的是[0,1]之间的任何实数，这样的话权重和偏置的微⼩改动只会引起输出的微⼩变化，此时的output可以表示为σ(w⋅x+b)，而σ就是S型函数，S型函数中S指的是Sigmoid函数，定义如下：

神经网络其实就是按照一定规则连接起来的多个神经元，一个神经网络由以下组件构成：

输入层：接受传递数据，这里应该是 784 个神经元

隐藏层：发掘出特征

各层之间的权重：自动学习出来

每个隐藏层都会有一个精心设计的激活函数，比如Sigmoid、Relu激活函数

输出层，10个输出

上⼀层的输出作为下⼀层的输⼊，信息总是向前传播，从不反向回馈：前馈神经网络

有回路，其中反馈环路是可⾏的：递归神经网络

从输入层传入手写字训练集，然后通过隐藏层向前传递训练集数据，最后输出层会输出10个概率值，总和为1。现在，我们可以看看Keras代码:

第一步，对数据进行预处理，我们知道，原本数据形状是(60000, 28, 28)，取值区间为[0, 255]，现在改为[0, 1]：

train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) 
train_images = train_images.astype("float32") / 255

test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28)) 
test_images = test_images.astype("float32") / 255

然后对标签进行分类编码：

from keras.utils import to_categorical

train_labels = to_categorical(train_labels) 
test_labels = to_categorical(test_labels)

第二步，编写模型：

from keras import models 
from keras import layers

network = models.Sequential() 
network.add(layers.Dense(512, activation="relu", input_shape=(28 * 28,))) 
network.add(layers.Dense(10, activation="softmax")
            
network.compile(optimizer="rmsprop",loss="categorical_crossentropy", metrics=["accuracy"])
network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)

一个隐藏层，激活函数选用relu，输出层使用softmax返回一个由10个概率值（总和为 1）组成的数组

训练过程中显示了两个数字：一个是网络在训练数据上的损失loss，另一个是网络在 训练数据上的精度acc

很简单，我们构建和训练一个神经网络，就这么几行代码，之所以写的这么剪短，是因为keras接接口封装地比较好用，但是里面的理论知识我们还是需要好好研究下

TensorFlow里面的Tensor是张量的意思，上面例子里面存储在多维Numpy数组中的数据就是张量：张量是数据容器，矩阵就是二维张量，张量是矩阵向任意维度的推广，张量的维度称为轴

包含一个数字的张量叫做标量（0D张量），如下：

x = np.array(12)
print(x, x.ndim)
# 12, 0

张量轴的个数也叫做阶(rank)

数字组成的数组叫做向量（1D张量），如下：

x = np.array([12, 3, 6, 14, 7])
print(x, x.ndim)
# [12  3  6 14  7] 1

向量组成的数组叫做矩阵（2D张量），如下：

x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]])
print(x, x.ndim)
# [[ 5 78  2 34  0]
# [ 6 79  3 35  1]
# [ 7 80  4 36  2]] 2

将多个矩阵组合成一个新的数组就是一个3D张量，如下：

x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1]]])
print(x, x.ndim)
# (array([[[ 5, 78,  2, 34,  0],
#          [ 6, 79,  3, 35,  1]],
#  
#         [[ 5, 78,  2, 34,  0],
#          [ 6, 79,  3, 35,  1]],
#  
#         [[ 5, 78,  2, 34,  0],
#          [ 6, 79,  3, 35,  1]]]), 3)

将多个3D张量组合成一个数组，可以创建一个4D张量

张量是由以下三个关键属性来定义：

轴的个数：3D张量三个轴，矩阵两个轴

形状：是一个整数元祖，比如前面矩阵为(3, 5)，向量(5,)，3D张量为(3, 2, 5)

数据类型

以前面加载的train_images为：

(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

比如进行切片选择10~100个数字：

train_images[10:100].shape
# (90, 28, 28)

深度学习模型会将数据集随机分割成小批量进行处理，比如：

batch = train_images[:128]
batch.shape
# (128, 28, 28)

下面将介绍下现实世界中数据的形状：

向量数据：2D张量，(samples, features)

时间序列数据或者序列数据：3D张量，(samples, timesteps, features)

图像：4D张量，(samples, height, width, channels) 或 (samples, channels, height, width)

视频：5D张量，(samples, frames, height, width, channels) 或 (samples, frames, channels, height, width)

类似于计算机程序的计算可以转化为二进制计算，深度学习计算可以转化为数值数据张量上的一些张量运算(tensor operation)

上面模型的隐藏层代码如下：

keras.layers.Dense(512, activation="relu")

这一层可以理解为一个函数，输入一个2D张量，输出一个2D张量，就如同上面感知机那一节最后输出的计算函数：

output = relu(dot(W, input) + b)

Relu 和加法运算都是逐元素的运算，比如：

# 输入示例
input_x = np.array([[2], [3], [1]])
# 权重
W = np.array([[5, 6, 1], [7, 8, 1]])
# 计算输出 z
z = np.dot(W, input_x)

# 实现激活函数
def naive_relu(x):
    assert len(x.shape) == 2
    x = x.copy()
    for i in range(x.shape[0]):
        for j in range(x.shape[1]):
            x[i, j] = max(x[i, j], 0) 
    return x

# 激活函数对应的输出
output = naive_relu(z)
output

张量运算那节中，有这样一段代码：

output = relu(dot(W, input) + b)

dot(W, input)是2D张量，b是向量，两个形状不同的张量相加，会发生什么？

如果没有歧义的话，较小的张量会被广播，用来匹配较大张量的形状：

input_x = np.array([[1], [3]])
# 权重
W = np.array([[5, 6], [7, 8]])
b = np.array([1])
# 计算输出 z
z = np.dot(W, input_x) + b
# array([[24],
#        [32]])

点积运算，也叫张量积，如：

import numpy as np

# 输入示例
input_x = np.array([[2], [3], [1]])
# 权重
W = np.array([[5, 6, 1], [7, 8, 1]])
np.dot(W, input_x)

两个向量之间的点积是一个标量：

def naive_vector_dot(x, y):
    assert len(x.shape) == 1
    assert len(y.shape) == 1 
    assert x.shape[0] == y.shape[0]
    z = 0.
    for i in range(x.shape[0]):
        z += x[i] * y[i] 
    return z

x = np.array([1,2])
y = np.array([1,2])

naive_vector_dot(x, y)

# 5.0

矩阵和向量点积后是一个向量：

np.dot(W, [1, 2, 3])
# array([20, 26])

前面对数据进行预处理的时候：

train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) 
train_images = train_images.astype("float32") / 255

上面的例子将输入数据的shape变成了(60000, 784)，张量变形指的就是改变张量的行和列，得到想要的形状，前后数据集个数不变，经常遇到一个特殊的张量变形是转置(transposition)，如下：

x = np.zeros((300, 20))
x = np.transpose(x)
x.shape
# (20, 300)

针对每个输入，神经网络都会通过下面的函数对输入数据进行变换：

output = relu(dot(W, input_x) + b)

其中：

relu：激活函数

W：是一个张量，表示权重，第一步可以取较小的随机值进行随机初始化

b：是一个张量，表示偏置

现在我们需要一个算法来让我们找到权重和偏置，从而使得y=y(x)可以拟合样本输入的x

感知器学习的过程就是其中权重和偏置不断调优更新的过程，其中的偏置可以理解成输入为1的权重值，那么权重是怎么更新的呢？

首先，介绍一个概念，损失函数，引用李航老师统计学习方法书中的一个解释：

监督学习问题是在假设空间中选取模型f作为决策函数，对于给定的输入X，由f(X)给出相应的输出Y，这个输出的预测值f(X)与真实值Y可能一致也可能不一致，用一个损失函数（loss function）或代价函数（cost function）来度量预测错误的程度，损失函数是f(X)和Y的非负实值函数，记作L(Y,f(X))

其中模型f(X)关于训练数据集的平均损失，我们称之为：经验风险（empirical risk），上述的权重调整，就是在不断地让经验风险最小，求出最好的模型f(X)，我们暂时不考虑正则化，此时我们经验风险的最优化的目标函数就是：

求解出此目标函数最小时对应的权重值，就是我们感知器里面对应的权重值，在推导之前，我们还得明白两个概念：

什么是导数

什么是梯度

假设有一个连续的光滑函数f(x) = y，什么是函数连续性？指的是x的微小变化只能导致y的微小变化。

假设f(x)上的两点a,b足够接近，那么a,b可以近似为一个线性函数，此时他们斜率为k，那么可以说斜率k是f在b点的导数

总之，导数描述了改变x后f(x)会如何变化，如果你希望减小f(x)的值，只需要将x沿着导数的反方向移动一小步即可，反之亦然

梯度是张量运算的导数，是导数这一概念向多元函数导数的推广，它指向函数值上升最快的方向，函数值下降最快的方向自然就是梯度的反方向

推导过程如下：

感知器代码里面的这段:

self.w += input_vector * rate * delta

就对应上面式子里面推导出来的规则

再来看看全部的手写字识别模型代码：

from keras import models 
from keras import layers
from keras.utils import to_categorical

(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28)) 
train_images = train_images.astype("float32") / 255

test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28)) 
test_images = test_images.astype("float32") / 255

train_labels = to_categorical(train_labels) 
test_labels = to_categorical(test_labels)


network = models.Sequential() 
network.add(layers.Dense(512, activation="relu", input_shape=(28 * 28,))) 
network.add(layers.Dense(10, activation="softmax"))

network.compile(optimizer="rmsprop",loss="categorical_crossentropy", metrics=["accuracy"])
network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)

test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
print("test_acc:", test_acc)

输入数据保存在float32格式的Numpy张量中，形状分别是(60000, 784)和(10000, 784)

神经网络结构为：1个输入层、一个隐藏层、一个输出层

categorical_crossentropy是针对分类模型的损失函数

每批128个样本，共迭代5次，一共更新(469 * 5) = 2345次

对本文有影响的书籍文章如下，感谢他们的付出：

[统计学习方法] 第一章

Neural Networks and Deep Learning 第一章

Deep Learning with Python 第二章

hands_on_Ml_with_Sklearn_and_TF

hanbt零基础入门深度学习系列