LeetCode69. Sqrt(x) -- 求一个数的开方

ddongjian0000 发布于2019-07-30 16:55 / 1553人阅读

摘要：牛顿迭代法的原理很简单，其实是根据在附近的值和斜率，估计和轴的交点，因此牛顿迭代法的公式为其实就是求切线与轴的交点。代码利用牛顿法进行的更新，比直接从开始遍历所作的循环要少牛顿迭代法的基本原理，请参考牛顿迭代法求开平方

描述

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.

Example：

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since 
             the decimal part is truncated, 2 is returned.

分析

该题就是求一个数的开平方，此处忽略这种直接用int(x ** 0.5)的做法；

最简单的求解方式是从1进行遍历，直到找到一个数n，满足$n^2>x$，则此时$n-1$就是要找的值，但是该方法需要遍历$int(sqrt x)$次，当$x$的数值很大时，需要遍历的次数太多；

所以这里采用牛顿迭代法来进行开方，牛顿迭代法能开任意数的平方，并能找到一个逼近解，当然该题只需要找到对应的整数解就可以。牛顿迭代法的原理很简单，其实是根据$f(x)=x^2 - a$在$x_0$附近的值和斜率，估计$f(x)$和$x$轴的交点，因此牛顿迭代法的公式为：

$$x_{n+1}=x_n - frac{f(x_n)}{f^{"}(x_n)}$$

其实就是求切线与x轴的交点。

代码

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        利用牛顿法进行x0的更新，比直接从1开始遍历所作的循环要少
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        x0 = 1
        while True:
            x1 = x0 - (x0 ** 2 - x)/(2*x0)
            if int(x1) == int(x0):
                break
            else:
                x0 = x1
        return int(x0)

牛顿迭代法的基本原理，请参考：
牛顿迭代法求开平方

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