动态规划法（十）最长公共子序列（LCS）问题

摘要：最长公共子序列问题指的是求解两个序列和的长度最长的公共子序列。当然，可以看出，问题容易出现重叠子问题，这时候，就需要用动态规划法来解决。

  给定一个序列$X=$，另一个序列$Z=$满足如下条件时称为X的子序列：存在一个严格递增的X的下标序列${i_1,i_2,...,i_k}$，对所有的$j=1,2,...,k$满足$x_{i_j}=z_j.$
  给定两个序列$X$和$Y$,如果$Z$同时是$X$和$Y$的子序列，则称$Z$是$X$和$Y$的公共子序列。最长公共子序列（LCS）问题指的是：求解两个序列$X$和$Y$的长度最长的公共子序列。例如，序列$X={A,B,C,B,D,A,B}$和$Y={B,D,C,A,B,A}$的最长公共子序列为${B,C,B,A}$，长度为4。
  本文将具体阐释如何用动态规划法（Dynamic Programming）来求解最长公共子序列（LCS）问题。

  给定一个序列$X=$，对$i=0,1,...,m$，定义$X$的第i前缀为$X_i=$,其中$X_0$为空序列。
  （LCS的子结构）令$X=$和$Y=$为两个序列，$Z=$为$X$和$Y$的任意LCS，则：

如果$x_m=y_n,$则$z_k=x_m=y_n$且$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个LCS。

如果$x_m eq y_n,$则$z_k eq x_m$意味着$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y$的一个LCS。

如果$x_m eq y_n,$则$z_k eq y_n$且$Z_{k-1}$是$X$和$Y_{n-1}$的一个LCS。

  在求$X=$和$Y=$的一个LCS时，需要求解一个或两个子问题：如果$x_m=y_n$，应求解$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个LCS，再将$x_m=y_n$追加到这个LCS的末尾，就得到$X$和$Y$的一个LCS；如果$x_m eq y_n$，需求解$X_{m-1}$和$Y$的一个LCS与$X$和$Y_{n-1}$的一个LCS，两个LCS较长者即为$X$和$Y$的一个LCS。当然，可以看出，LCS问题容易出现重叠子问题，这时候，就需要用动态规划法来解决。
  定义$c[i,j]$表示$X_i$和$Y_j$的LCS的长度。如果$i=0$或$j=0$，则$c[i,j]=0.$利用LCS的子结构，可以得到如下公式：

$$ c[i,j]=left{ egin{array}{lr} 0,qquad 若i=0或j=0 c[i-1, j-1]+1,qquad 若i,j>0且x_i=y_j max(c[i, j-1], c[i-1, j]),qquad 若i,j>0且x_i eq y_j end{array} ight. $$

  计算LCS长度的伪代码为LCS-LENGTH. 过程LCS-LENGTH接受两个子序列$X=$和$Y=$为输入。它将$c[i, j]$的值保存在表$c$中，同时，维护一个表$b$，帮助构造最优解。过程LCS-LENGTH的伪代码如下：

LCS-LENGTH(X, Y):
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m, 1...n] and c[0...m, 0...n] be new table

for i = 1 to m
    c[i, 0] = 0
for j = 1 to n
    c[0, j] = 0

for i = 1 to m
    for j = 1 to n
        if x[i] == y[j]
           c[i,j] = c[i-1, j-1]+1
           b[i,j] = "diag"
           
        elseif c[i-1, j] >= c[i, j-1]
            c[i,j] = c[i-1, j]
            b[i,j] = "up"
            
        else
            c[i,j] = c[i, j-1]
            b[i,j] = "left"
            
return c and b

  为了寻找$X$和$Y$的一个LCS， 我们需要用到LCS-LENGTH过程中的表$b$，只需要简单地从$b[m, n]$开始，并按箭头方向追踪下去即可。当在表项$b[i,j]$中遇到一个"diag"时，意味着$x_i=y_j$是LCS的一个元素。按照这种方法，我们可以按逆序依次构造出LCS的所有元素。伪代码PRINT-LCS如下：

PRINT-LCS(b, X, i, j):
    if i == 0 or j == 0
        return
    if b[i,j] == "diag"
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j-1)
        print x[i]
    elseif b[i,j] == "up":
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j)
    else
        PRINT-LCS(b, X, i, j-1)

  有了以上对LCS问题的算法分析，我们不难写出具体的程序来实现它。下面将会给出Python代码和Java代码，供读者参考。
  完整的Python代码如下：

import numpy as np

# using dynamic programming to solve LCS problem
# parameters: X,Y -> list
def LCS_LENGTH(X, Y):
    m = len(X) # length of X
    n = len(Y) # length of Y

    # create two tables, b for directions, c for solution of sub-problem
    b = np.array([[None]*(n+1)]*(m+1))
    c = np.array([[0]*(n+1)]*(m+1))

    # use DP to sole LCS problem
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j-1]+1
                b[i,j] = "diag"
            elif c[i-1,j] >= c[i, j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j]
                b[i,j] = "up"
            else:
                c[i,j] = c[i,j-1]
                b[i,j] = "left"
    #print(b)
    #print(c)
    return b,c

# print longest common subsequence of X and Y
def print_LCS(b, X, i, j):

    if i == 0 or j == 0:
        return None
    if b[i,j] == "diag":
        print_LCS(b, X, i-1, j-1)
        print(X[i-1], end=" ")
    elif b[i,j] == "up":
        print_LCS(b, X, i-1, j)
    else:
        print_LCS(b, X, i, j-1)

X = "conservatives"
Y = "breather"

b,c = LCS_LENGTH(X,Y)
print_LCS(b, X, len(X), len(Y))

输出结果如下：

e a t e 

  完整的Java代码如下：

package DP_example;

import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class LCS {
    // 主函数
    public static void main(String[] args) {
        // 两个序列X和Y
        List X = Arrays.asList("A","B","C","B","D","A","B");
        List Y = Arrays.asList("B","D","C","A","B","A");

        int m = X.size(); //X的长度
        int n = Y.size(); // Y的长度
        String[][] b = LCS_length(X, Y); //获取维护表b的值

        print_LCS(b, X, m, n); // 输出LCS
    }

    /*
    函数LCS_length：获取维护表b的值
    传入参数： 两个序列X和Y
    返回值： 维护表b
     */
    public static String[][] LCS_length(List X, List Y){
        int m = X.size(); //X的长度
        int n = Y.size(); // Y的长度
        int[][] c = new int[m+1][n+1];
        String[][] b = new String[m+1][n+1];

        // 对表b和表c进行初始化
        for(int i=1; i= c[i][j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] = "up";
                }
                else{
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = "left";
                }
            }
        }

        return b;
    }

    // 输出最长公共子序列
    public static int print_LCS(String[][] b, List X, int i, int j){

        if(i == 0 || j == 0)
            return 0;

        if(b[i][j].equals("diag")){
            print_LCS(b, X, i-1, j-1);
            System.out.print(X.get(i-1)+" ");
        }
        else if(b[i][j].equals("up"))
            print_LCS(b, X, i-1, j);
        else
            print_LCS(b, X, i, j-1);

        return 1;
    }
}

输出结果如下：

B C B A 

算法导论（第三版） 机械工业出版社

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