Tensorflow快餐教程(4) - 矩阵

摘要：最常用的就是对角阵，只有一条对角线上有值。可以通过函数来获得逆矩阵，例我们来验算一下与相乘是不是单位矩阵果然是。对角阵比较特殊，还满足交换律求行列式的值以判断是否有逆矩阵我们学习线性代数知道，如果一个矩阵要想有逆矩阵，它的行列式一定不能为。

矩阵因为元素更多，所以初始化函数更多了。光靠tf.linspace，tf.range之类的线性生成函数已经不够用了。

可以通过先生成一个线性序列，然后再reshape成一个矩阵的方式来初始化。

例：

>>> g1 = tf.linspace(1.0,10.0,16)
>>> g1

>>> g2 = tf.constant(sess.run(tf.reshape(g1,[4,4])))
>>> sess.run(g2)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> g2

tf.linspace生成了(16,)的一个向量，然后被reshape成(4,4)的矩阵。

tf.zeros可以生成全0的矩阵，不指定类型时，默认为float32.

>>> g7 = tf.zeros([4,5])
>>> sess.run(g7)
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]], dtype=float32)

可以指定数据类型：

>>> g8 = tf.zeros([10,10],dtype=tf.int32)
>>> sess.run(g8)
array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]], dtype=int32)

类似地，我们可以用tf.ones生成值全为1的矩阵。
例：

>>> g9 = tf.ones([8,2],dtype=tf.int64)
>>> sess.run(g9)
array([[1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1]])

tf.ones和tf.zeros其实是特例，tf.fill才是更通用的功能：

>>> g10 = tf.fill([5,5],10.1)
>>> sess.run(g10)
array([[10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1]], dtype=float32)

矩阵一个特点是经常是只有稀疏的值。最常用的就是对角阵，只有一条对角线上有值。
例：

>>> g11 =tf.diag([1,1,2,2])
>>> sess.run(g11)
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 2, 0],
       [0, 0, 0, 2]], dtype=int32)

除了生成对角阵，我们还可以从一个矩阵中将对角线值获取成一个向量：

>>> g12 = tf.diag_part(g11)
>>> sess.run(g12)
array([1, 1, 2, 2], dtype=int32)
>>> g12

除了全0，全1，全确定值和对角线值，还有一种非常常用的方式就是生成随机值。
我们可以按正态分布来生成初始值：

>>> g13 = tf.random_normal([5,5])
>>> sess.run(g13)
array([[ 0.21010283,  1.083522  , -2.1688387 , -1.2340024 ,  0.9230036 ],
       [ 0.43592915, -0.7187195 , -1.3310403 ,  0.27570882,  1.3831469 ],
       [-0.42430717,  2.8005996 ,  1.1899991 ,  0.6987934 ,  1.6732428 ],
       [ 0.4975314 , -1.259698  ,  1.2508341 , -1.2581793 , -0.8776101 ],
       [ 0.49039882,  0.8129552 ,  1.2836359 , -0.3732389 , -2.034603  ]],
      dtype=float32)

可以指定平均值和标准差，默认均值为0，标准差为1。默认的类型为float32，反正不支持整数。

例：

>>> g14 = tf.random_normal([3,8], mean=1.0, stddev=2.0, dtype=tf.float32)
>>> sess.run(g14)
array([[ 3.7580974 , -2.7150466 , -2.107638  ,  1.7130036 , -0.8702172 ,
        -1.0325654 ,  3.1230848 , -0.82150674],
       [-1.3860679 ,  0.03262603, -0.63146615, -0.71946084,  1.182011  ,
         0.34882843,  2.3536258 , -1.0503623 ],
       [-3.6498313 ,  0.4458651 ,  2.9859743 ,  2.153699  ,  3.8967788 ,
         1.895072  ,  3.5918627 ,  1.9855003 ]], dtype=float32)

将矩阵中的元素基于对角线对称交换，叫做矩阵的转置transpose。

例：

>>> g3 = tf.transpose(g2)
>>> g3

>>> sess.run(g3)
array([[ 1.       ,  3.4      ,  5.8      ,  8.200001 ],
       [ 1.6      ,  4.       ,  6.4      ,  8.8      ],
       [ 2.2      ,  4.6000004,  7.       ,  9.400001 ],
       [ 2.8000002,  5.2000003,  7.6000004, 10.       ]], dtype=float32)

1,4,7,10是对角线，在转置时保持不变。

在非方阵的情况下，转置后对角线仍然保持不变。
我们看一个2*3矩阵的例子：

>>> g4 = tf.linspace(1.0,10.0,6)
>>> g5 = tf.reshape(g4,[2,3])
>>> sess.run(g5)
array([[ 1.       ,  2.8      ,  4.6      ],
       [ 6.3999996,  8.2      , 10.       ]], dtype=float32)

对角线是1和8.2.
我们转置一下：

 >>> g6 = tf.constant(sess.run(tf.transpose(g5)))
    >>> sess.run(g6)
    array([[ 1.       ,  6.3999996],
           [ 2.8      ,  8.2      ],
           [ 4.6      , 10.       ]], dtype=float32)

虽然从一个宽矩阵变成了高矩阵，但是对角线仍然是1和8.2.

两个行列相同的矩阵可以进行加减运算。
例：

>>> h01 = tf.random_normal([4,4])
>>> h02 = tf.fill([4,4],1.0)
>>> h03 = h01 + h02
>>> sess.run(h03)
array([[ 1.959749  ,  1.2833667 ,  0.12137735,  1.0297428 ],
       [ 1.3971953 , -0.0582509 ,  1.1770982 ,  2.154177  ],
       [-1.1314301 ,  1.6063341 , -1.2442939 ,  1.2752731 ],
       [ 1.3077021 ,  0.42679614,  2.9681108 ,  1.6179581 ]],
      dtype=float32)

广播运算
例：

>>> h04 = h02 + 2.0
>>> sess.run(h04)
array([[3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.]], dtype=float32)

矩阵乘积
"*"运算在矩阵乘法中，跟上节所讲一样，还是Hadamard积，就是对应元素的积，例：

>>> h05 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,10.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h05)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> h06 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,16.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h06)
array([[ 1.,  2.,  3.,  4.],
       [ 5.,  6.,  7.,  8.],
       [ 9., 10., 11., 12.],
       [13., 14., 15., 16.]], dtype=float32)
>>> sess.run(h05 * h06)
array([[  1.       ,   3.2      ,   6.6000004,  11.200001 ],
       [ 17.       ,  24.       ,  32.200005 ,  41.600002 ],
       [ 52.2      ,  64.       ,  77.       ,  91.200005 ],
       [106.600006 , 123.200005 , 141.00002  , 160.       ]],
      dtype=float32)

我们也可以用matmul函数，或者"@"运算符计算矩阵相乘的结果：

>>> h05 @ h06

>>> sess.run(h05 @ h06)
array([[ 65.200005,  72.8     ,  80.40001 ,  88.      ],
       [132.40001 , 149.6     , 166.80002 , 184.      ],
       [199.6     , 226.40002 , 253.20001 , 280.      ],
       [266.8     , 303.2     , 339.60004 , 376.      ]], dtype=float32)

"@"是高版本Python中支持的操作，在tensorflow中重载它的函数为matmul。

逆矩阵 Inverse Matrices
定义I为单位对角矩阵，如果BA=I，那么我就说B是A的逆矩阵。可以通过matrix_inverse函数来获得逆矩阵，例：

>>> i01 = tf.diag([1.0,2.0,3.0,4.0])
>>> sess.run(i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 2., 0., 0.],
       [0., 0., 3., 0.],
       [0., 0., 0., 4.]], dtype=float32)
>>> i01_rev = tf.matrix_inverse(i01)
>>> sess.run(i01_rev)
array([[1.        , 0.        , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.5       , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.33333334, 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.        , 0.25      ]], dtype=float32)

我们来验算一下i01_rev与i01相乘是不是单位矩阵：

>>> sess.run( i01_rev @ i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

果然是。

对角阵比较特殊，还满足交换律：

>>> sess.run( i01 @ i01_rev)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

求行列式的值以判断是否有逆矩阵
我们学习线性代数知道，如果一个矩阵要想有逆矩阵，它的行列式一定不能为0。

在Matlab和mathematica两大著名数学软件中，求行列式的函数名字很简单，就是det。
Tensorflow因为是个库，所以名字比较长，叫tf.matrix_determinant.

我们来看一个例子：

>>> A1 = [[1,1,1],[1,-1,-1],[5,-2,2]]
>>> A = tf.constant(A1, tf.float32)
>>> A

>>> sess.run(A)
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1., -1., -1.],
       [ 5., -2.,  2.]], dtype=float32)
>>> d = tf.matrix_determinant(A)
>>> sess.run(d)
-8.0

利用逆矩阵求解线性方程组
假设有下列方程组，求解：

x+y+z =1,
x-y-z = 2,
5x-2y+2z = 3

这个题中的系数矩阵就是我们刚才例子中的矩阵，我们已经求得行列式值为-8不等于0，所以我们可以通过用系数矩阵的逆矩阵乘以常数向量的方式求解。

>>> b = tf.constant([[1],[2],[3]],dtype=tf.float32)
>>> b

>>> sess.run(b)
array([[1.],
       [2.],
       [3.]], dtype=float32)
>>> sess.run(tf.matmul(tf.matrix_inverse(A),b))
array([[ 1.5000001],
       [ 0.875    ],
       [-1.3750001]], dtype=float32)

最后求得，x=1.5, y=0.875, z = -1.375.

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