基于概率论的分类方法：朴素贝叶斯

摘要：基于概率论的分类方法朴素贝叶斯概述贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。另外一种有效计算条件概率的方法称为贝叶斯准则。可以在任意的分类场景中使用朴素贝叶斯分类器，不一定非要是文本。

贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。本章首先介绍贝叶斯分类算法的基础——贝叶斯定理。最后，我们通过实例来讨论贝叶斯分类的中最简单的一种: 朴素贝叶斯分类。

我们现在有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：

我们现在用 p1(x,y) 表示数据点 (x,y) 属于类别 1（图中用圆点表示的类别）的概率，用 p2(x,y) 表示数据点 (x,y) 属于类别 2（图中三角形表示的类别）的概率，那么对于一个新数据点 (x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：

如果 p1(x,y) > p2(x,y) ，那么类别为1
如果 p2(x,y) > p1(x,y) ，那么类别为2

也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。

如果你对 p(x,y|c1) 符号很熟悉，那么可以跳过本小节。

有一个装了 7 块石头的罐子，其中 3 块是白色的，4 块是黑色的。如果从罐子中随机取出一块石头，那么是白色石头的可能性是多少？由于取石头有 7 种可能，其中 3 种为白色，所以取出白色石头的概率为 3/7 。那么取到黑色石头的概率又是多少呢？很显然，是 4/7 。我们使用 P(white) 来表示取到白色石头的概率，其概率值可以通过白色石头数目除以总的石头数目来得到。

如果这 7 块石头如下图所示，放在两个桶中，那么上述概率应该如何计算？

计算 P(white) 或者 P(black) ，如果事先我们知道石头所在桶的信息是会改变结果的。这就是所谓的条件概率（conditional probablity）。假定计算的是从 B 桶取到白色石头的概率，这个概率可以记作 P(white|bucketB) ，我们称之为“在已知石头出自 B 桶的条件下，取出白色石头的概率”。很容易得到，P(white|bucketA) 值为 2/4 ，P(white|bucketB) 的值为 1/3 。

条件概率的计算公式如下：

P(white|bucketB) = P(white and bucketB) / P(bucketB)

首先，我们用 B 桶中白色石头的个数除以两个桶中总的石头数，得到 P(white and bucketB) = 1/7 .其次，由于 B 桶中有 3 块石头，而总石头数为 7 ，于是 P(bucketB) 就等于 3/7 。于是又 P(white|bucketB) = P(white and bucketB) / P(bucketB) = (1/7) / (3/7) = 1/3 。

另外一种有效计算条件概率的方法称为贝叶斯准则。贝叶斯准则告诉我们如何交换条件概率中的条件与结果，即如果已知 P(x|c)，要求 P(c|x)，那么可以使用下面的计算方法：

使用条件概率来分类

上面我们提到贝叶斯决策理论要求计算两个概率 p1(x, y) 和 p2(x, y):

如果 p1(x, y) > p2(x, y), 那么属于类别 1;
如果 p2(x, y) > p1(X, y), 那么属于类别 2.

这并不是贝叶斯决策理论的所有内容。使用 p1() 和 p2() 只是为了尽可能简化描述，而真正需要计算和比较的是 p(c1|x, y) 和 p(c2|x, y) .这些符号所代表的具体意义是: 给定某个由 x、y 表示的数据点，那么该数据点来自类别 c1 的概率是多少？数据点来自类别 c2 的概率又是多少？注意这些概率与概率 p(x, y|c1) 并不一样，不过可以使用贝叶斯准则来交换概率中条件与结果。具体地，应用贝叶斯准则得到:

使用上面这些定义，可以定义贝叶斯分类准则为:

如果 P(c1|x, y) > P(c2|x, y), 那么属于类别 c1;
如果 P(c2|x, y) > P(c1|x, y), 那么属于类别 c2.

在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词作为一个特征，而每个词的出现或者不出现作为该特征的值，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词的数目一样多。

我们假设特征之间 相互独立 。所谓 独立(independence) 指的是统计意义上的独立，即一个特征或者单词出现的可能性与它和其他单词相邻没有关系，比如说，“我们”中的“我”和“们”出现的概率与这两个字相邻没有任何关系。这个假设正是朴素贝叶斯分类器中 朴素(naive) 一词的含义。朴素贝叶斯分类器中的另一个假设是，每个特征同等重要。

Note: 朴素贝叶斯分类器通常有两种实现方式: 一种基于伯努利模型实现，一种基于多项式模型实现。这里采用前一种实现方式。该实现方式中并不考虑词在文档中出现的次数，只考虑出不出现，因此在这个意义上相当于假设词是等权重的。

机器学习的一个重要应用就是文档的自动分类。

在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词作为一个特征，而每个词的出现或者不出现作为该特征的值，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词的数目一样多。

朴素贝叶斯是上面介绍的贝叶斯分类器的一个扩展，是用于文档分类的常用算法。下面我们会进行一些朴素贝叶斯分类的实践项目。

提取所有文档中的词条并进行去重
获取文档的所有类别
计算每个类别中的文档数目
对每篇训练文档:

对每个类别:
    如果词条出现在文档中-->增加该词条的计数值（for循环或者矩阵相加）
    增加所有词条的计数值（此类别下词条总数）

对每个类别:

对每个词条:
    将该词条的数目除以总词条数目得到的条件概率（P(词条|类别)）

返回该文档属于每个类别的条件概率（P(类别|文档的所有词条)）

收集数据: 可以使用任何方法。

准备数据: 需要数值型或者布尔型数据。

分析数据: 有大量特征时，绘制特征作用不大，此时使用直方图效果更好。

训练算法: 计算不同的独立特征的条件概率。

测试算法: 计算错误率。

使用算法: 一个常见的朴素贝叶斯应用是文档分类。可以在任意的分类场景中使用朴素贝叶斯分类器，不一定非要是文本。

优点: 在数据较少的情况下仍然有效，可以处理多类别问题。
缺点: 对于输入数据的准备方式较为敏感。
适用数据类型: 标称型数据。

屏蔽社区留言板的侮辱性言论

构建一个快速过滤器来屏蔽在线社区留言板上的侮辱性言论。如果某条留言使用了负面或者侮辱性的语言，那么就将该留言标识为内容不当。对此问题建立两个类别: 侮辱类和非侮辱类，使用 1 和 0 分别表示。

收集数据: 可以使用任何方法

准备数据: 从文本中构建词向量

分析数据: 检查词条确保解析的正确性

训练算法: 从词向量计算概率

测试算法: 根据现实情况修改分类器

使用算法: 对社区留言板言论进行分类

收集数据: 可以使用任何方法

def loadDataSet():
    """
    创建数据集
    :return: 单词列表postingList, 所属类别classVec
    """
    postingList = [["my", "dog", "has", "flea", "problems", "help", "please"], #[0,0,1,1,1......]
                   ["maybe", "not", "take", "him", "to", "dog", "park", "stupid"],
                   ["my", "dalmation", "is", "so", "cute", "I", "love", "him"],
                   ["stop", "posting", "stupid", "worthless", "garbage"],
                   ["mr", "licks", "ate", "my", "steak", "how", "to", "stop", "him"],
                   ["quit", "buying", "worthless", "dog", "food", "stupid"]]
    classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]  # 1 is abusive, 0 not
    return postingList, classVec

def createVocabList(dataSet):
    """
    获取所有单词的集合
    :param dataSet: 数据集
    :return: 所有单词的集合(即不含重复元素的单词列表)
    """
    vocabSet = set([])  # create empty set
    for document in dataSet:
        # 操作符 | 用于求两个集合的并集
        vocabSet = vocabSet | set(document)  # union of the two sets
    return list(vocabSet)


def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):
    """
    遍历查看该单词是否出现，出现该单词则将该单词置1
    :param vocabList: 所有单词集合列表
    :param inputSet: 输入数据集
    :return: 匹配列表[0,1,0,1...]，其中 1与0 表示词汇表中的单词是否出现在输入的数据集中
    """
    # 创建一个和词汇表等长的向量，并将其元素都设置为0
    returnVec = [0] * len(vocabList)# [0,0......]
    # 遍历文档中的所有单词，如果出现了词汇表中的单词，则将输出的文档向量中的对应值设为1
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] = 1
        else:
            print "the word: %s is not in my Vocabulary!" % word
    return returnVec

检查函数执行情况，检查词表，不出现重复单词，需要的话，可以对其进行排序。

>>> listOPosts, listClasses = bayes.loadDataSet()
>>> myVocabList = bayes.createVocabList(listOPosts)
>>> myVocabList
["cute", "love", "help", "garbage", "quit", "I", "problems", "is", "park",
"stop", "flea", "dalmation", "licks", "food", "not", "him", "buying", "posting", "has", "worthless", "ate", "to", "maybe", "please", "dog", "how",
"stupid", "so", "take", "mr", "steak", "my"]

检查函数有效性。例如：myVocabList 中索引为 2 的元素是什么单词？应该是是 help 。该单词在第一篇文档中出现了，现在检查一下看看它是否出现在第四篇文档中。

>>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList, listOPosts[0])
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

>>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList, listOPosts[3])
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]

现在已经知道了一个词是否出现在一篇文档中，也知道该文档所属的类别。接下来我们重写贝叶斯准则，将之前的 x, y 替换为 w. 粗体的 w 表示这是一个向量，即它由多个值组成。在这个例子中，数值个数与词汇表中的词个数相同。

我们使用上述公式，对每个类计算该值，然后比较这两个概率值的大小。

首先可以通过类别 i (侮辱性留言或者非侮辱性留言)中的文档数除以总的文档数来计算概率 p(ci) 。接下来计算 p(w | ci) ，这里就要用到朴素贝叶斯假设。如果将 w 展开为一个个独立特征，那么就可以将上述概率写作 p(w0, w1, w2...wn | ci) 。这里假设所有词都互相独立，该假设也称作条件独立性假设（例如 A 和 B 两个人抛骰子，概率是互不影响的，也就是相互独立的，A 抛 2点的同时 B 抛 3 点的概率就是 1/6 * 1/6），它意味着可以使用 p(w0 | ci)p(w1 | ci)p(w2 | ci)...p(wn | ci) 来计算上述概率，这样就极大地简化了计算的过程。

def _trainNB0(trainMatrix, trainCategory):
    """
    训练数据原版
    :param trainMatrix: 文件单词矩阵 [[1,0,1,1,1....],[],[]...]
    :param trainCategory: 文件对应的类别[0,1,1,0....]，列表长度等于单词矩阵数，其中的1代表对应的文件是侮辱性文件，0代表不是侮辱性矩阵
    :return:
    """
    # 文件数
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    # 单词数
    numWords = len(trainMatrix[0])
    # 侮辱性文件的出现概率，即trainCategory中所有的1的个数，
    # 代表的就是多少个侮辱性文件，与文件的总数相除就得到了侮辱性文件的出现概率
    pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)
    # 构造单词出现次数列表
    p0Num = zeros(numWords) # [0,0,0,.....]
    p1Num = zeros(numWords) # [0,0,0,.....]

    # 整个数据集单词出现总数
    p0Denom = 0.0
    p1Denom = 0.0
    for i in range(numTrainDocs):
        # 是否是侮辱性文件
        if trainCategory[i] == 1:
            # 如果是侮辱性文件，对侮辱性文件的向量进行加和
            p1Num += trainMatrix[i] #[0,1,1,....] + [0,1,1,....]->[0,2,2,...]
            # 对向量中的所有元素进行求和，也就是计算所有侮辱性文件中出现的单词总数
            p1Denom += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Denom += sum(trainMatrix[i])
    # 类别1，即侮辱性文档的[P(F1|C1),P(F2|C1),P(F3|C1),P(F4|C1),P(F5|C1)....]列表
    # 即 在1类别下，每个单词出现的概率
    p1Vect = p1Num / p1Denom# [1,2,3,5]/90->[1/90,...]
    # 类别0，即正常文档的[P(F1|C0),P(F2|C0),P(F3|C0),P(F4|C0),P(F5|C0)....]列表
    # 即 在0类别下，每个单词出现的概率
    p0Vect = p0Num / p0Denom
    return p0Vect, p1Vect, pAbusive

http://www.cnblogs.com/apache...