王者编程大赛之二 — 蓄水池

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首发于 樊浩柏科学院

自如寓打算门口用砖头围立一个蓄水池子，从上面看凹凸不平，凹的地方会有积水。那如果用数字代表每个砖头的高度，就形成一个二维数据（如示例），请问这个池子能存储多少单位的水？

例如二维数组为：

9 9 9 9
3 0 0 9
7 8 2 6
时，答案是中间的 0,0 位置可以存储 2（因为其外面最低是 2）个单位的水，因此答案为 2 + 2 = 4。

示例：
输入：[1 1 1 1,1 0 0 1,1 1 1 1]
输出：2
输入：[12 11 12 0 13,12 9 8 12 12,13 10 0 3 15,19 4 4 7 15,19 4 3 0 15,12 13 10 15 13]
输出：58

这道题是所有题中困惑我时间最长的题，一开始思维禁锢在想直接通过找到每块砖的四周有效最低砖高度 $H_{min}$，然后这块砖所剩的水为 $w[i][j] = H_{min}-h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度，i 和 j 为砖的位置坐标)，因此蓄水池能蓄下的水为 $sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n w[i][j]$。经过一番尝试，发现寻找某块砖四周最低有效砖逻辑比较复杂，且不易理解，又尝试过使用回溯算法寻找出池子中的所有连通图，但是也未有果。

最后，发现基础平台一位同学的实现思路很清晰，我认为他的实现是最合适的，所以研究了一下。该实现中机智地采用逆向思维，首先往池子注满水（最高砖的高度），然后再通过条件判定每块砖是否需要进行漏水，一直到没有砖需要进行漏水操作。

实现思路如下：

找出高度最高的砖，高度记为 $H_{max}$；

对除去边界的砖进行注水操作，每块砖加水量为 $w[i][j] = H_{max} - h[i][j]$（$h[i][j]$ 为砖的高度）；

对某块砖进行漏水操作，只要这块砖有盛水且上下左右相邻的 4 块砖高度和盛水量之和小于这块砖高度和盛水量之和，则需要进行一次漏水，漏水条件可以描述为 $w[i][j] > 0$ && $h[i][j-1] + w[i][j-1] < h[i][j] + w[i][j]$（该条件为砖左侧相邻的漏水条件，右、上、下同理可得）；

持续漏水操作，一直重复步骤 3 直至没有砖需要进行漏水操作；

求和砖的盛水量，$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n w[i][j]$ 即为水池的蓄水量；

算法流程图示如下：

实现的类结构如下，特殊的方法已提取出，并将一一详细说明。

row = count($data);
        $this->col = count($data[0]);

        foreach ($data as $row => $rowArray) {
            foreach ($rowArray as $col => $height) {
                $height = (int)$height;
                $this->gridArray[$row][$col]["height"] = $height;
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = 0;
                //获取最高砖的高度
                if ($this->maxHeight < $height) {
                    $this->maxHeight = $height;
                }
            }
        }
    }
    
    //判断是否是水池边界
    public function isBorder($row, $col)
    {
        if ($row == 0
            || $row == $this->row - 1
            || $col == 0
            || $col == $this->col - 1
        ) {
            return true;
        }

        return false;
    }

    public function run()
    {
        $this->addWater();

        while ($this->removeWater()) ;

        return $this->collect();
    }
}

注水操作：

public function addWater()
{
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            if (!$this->isBorder($row, $col)) {
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = $this->maxHeight - $this->gridArray[$row][$col]["height"];
            }
        }
    }
}

漏水操作：

public function removeWater()
{
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            if ($this->canRemove($row, $col)) {
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

漏水条件实现如下：

public function canRemove($row, $col)
{
    $can = false;

    if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] > 0) {
        //上
        if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] + $this->gridArray[$row][$col]["height"] >
            $this->gridArray[$row - 1][$col]["water"] + $this->gridArray[$row - 1][$col]["height"]) {
            $this->gridArray[$row][$col]["water"] =
                $this->gridArray[$row - 1][$col]["water"] + $this->gridArray[$row - 1][$col]["height"]
                - $this->gridArray[$row][$col]["height"];
            if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //右
        if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] + $this->gridArray[$row][$col]["height"] >
            $this->gridArray[$row][$col + 1]["water"] + $this->gridArray[$row][$col + 1]["height"]) {
            $this->gridArray[$row][$col]["water"] =
                $this->gridArray[$row][$col + 1]["water"] + $this->gridArray[$row][$col + 1]["height"]
                - $this->gridArray[$row][$col]["height"];
            if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //下
        if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] + $this->gridArray[$row][$col]["height"] >
            $this->gridArray[$row + 1][$col]["water"] + $this->gridArray[$row + 1][$col]["height"]) {
            $this->gridArray[$row][$col]["water"] =
                $this->gridArray[$row + 1][$col]["water"] + $this->gridArray[$row + 1][$col]["height"]
                - $this->gridArray[$row][$col]["height"];
            if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = 0;
            }
            $can = true;
        }
        //左
        if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] + $this->gridArray[$row][$col]["height"] >
            $this->gridArray[$row][$col - 1]["water"] + $this->gridArray[$row][$col - 1]["height"]) {
            $this->gridArray[$row][$col]["water"] =
                $this->gridArray[$row][$col - 1]["water"] + $this->gridArray[$row][$col - 1]["height"]
                - $this->gridArray[$row][$col]["height"];
            if ($this->gridArray[$row][$col]["water"] < 0) {
                $this->gridArray[$row][$col]["water"] = 0;
            }
            $can = true;
        }
    }

    return $can;
}

持续漏水操作：

public function run()
{
    while ($this->removeWater()) ;
}

求和砖的盛水量：

public function collect()
{
    $sum = 0;
    foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
        foreach ($rowArray as $col => $grid) {
            $sum += $grid["water"];
        }
    }

    return $sum;
}

接收标准输入处理并输出结果：

$filter = function ($value) {
    return explode(" ", $value);
};

$pool = new Pool(array_map($filter, explode(",", $input)));
echo $pool->run(), PHP_EOL;

Twitter 之前曾经出过类似蓄水池的笔试题，只不过本题是立体水池（二维数组），Twitter 蓄水池笔试题是平面水池（一维数组），解题复杂度也就降低了，当然 Twitter 蓄水池笔试题也可以采用本题的思想来实现，但是时间复杂度为 $O(n^2)$，采用 我的Twitter技术面试失败了 的实现时间复杂度为 $O(n)$。

实现思路如下：

首先，用两个指针（left 和 right）分别指向数组的第一个元素和最后一个元素，左指针从左向右遍历，右指针从右向左遍历；

初始化数组中一个元素（a[0]）为左边遍历得到的最大值（max_left），最后一个元素（a[a.length-1]）为从右边遍历得到的最大值（max_right）；

开始遍历，遍历结束条件为 左指针不小于右指针；

如果左边遍历的最大值小于右边遍历的最大值，说明只要有水沟（即小于左边最大值 max_left 的元素）就会有积水，因为右边的最大值可以保证左边水沟的积水不会流失掉；同样，如果左边遍历的最大值不小于右边遍历的最大值，只要右边有水沟（即小于右边最大值 max_right 的元素）就会有积水；

具体实现，请直接参考 CuGBabyBeaR 文章。

本题的蓄水池问题，如果理解了问题本质并逆向思维，将寻找某块砖四周最低有效砖高度（寻找有效砖涉及到边界扩散）转化为判断某块砖是否需要漏水条件，那么问题就简化很多了，那后续编码也就很容易实现了，本文算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

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