我理解的数据结构（五）—— 二分搜索树（Binary Search Tree）

摘要：我理解的数据结构五二分搜索树一二叉树和链表一样，动态数据结构具有唯一根节点每个节点最多有两个子节点每个节点最多有一个父节点具有天然的递归结构每个节点的左子树也是二叉树每个节点的右子树也是二叉树一个节点或者空也是二叉树二二分搜索树是二叉树每个

和链表一样，动态数据结构

具有唯一根节点

每个节点最多有两个子节点

每个节点最多有一个父节点

具有天然的递归结构

每个节点的左子树也是二叉树

每个节点的右子树也是二叉树

一个节点或者空也是二叉树

是二叉树

每个节点的值

大于其左子树的所有节点的值

小于其右子树的所有节点的值

每一颗子树也是二分搜索树

存储的元素必须有可比较性

1. 基础代码

因为二分搜索树的元素必须具有可比较行，所以E继承了Comparable，这是一个注意点

public class BST> {

    // 节点
    private class Node {
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

}

2. 添加元素代码

public void add(E e) {

    if (root == null) {
        root = new Node(e);
        size++;
    }

    add(root, e);
}

// 在以node为根节点的二分搜索树添加元素e，递归调用
private void add(Node node, E e) {

    if (node.e.compareTo(e)) { // 不考虑重复元素
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
        node.left = new Node(e);
        size++;
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
        node.right = new Node(e);
        size++;
        return;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        add(node.left, e);
    } else {
        add(node.right, e);
    }
}

3. 添加元素代码（优化）

public void add(E e) {

    root = add(root, e);
}

// 返回插入二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        size++;
        return new Node(e);
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = add(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0)  {
        node.right = add(node.right, e);
    }
    return node;
}

4. 查询元素代码

// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
    return contains(root, e);
}

private boolean contains(Node node, E e) {
    if (node == null) {
        return false;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        return contains(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        return contains(node.right, e);
    } else {
        return true;
    }
}

二叉树的前中后序遍历取决于在什么位置去访问元素，每个遍历都有不同的业务场景。
就拿下面这个二叉树举例：

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//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

1. 前序遍历（深度优先遍历）

最常用的遍历方式

// 前序遍历
public void preOrder() {
    preOrder(root);
}

private void preOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    // 遍历前访问元素：前序遍历
    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

前序遍历的结果：5 3 2 4 6 8

2. 前序遍历（非递归写法）

public void preOrderNR() {
    // import java.util.Stack; 
    Stack stack = new Stack<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.right != null) {
            stack.push(cur.right);
        }
        if (cur.left != null) {
            stack.push(cur.left);
        }
    }
}

3. 中序遍历

二分搜索树的中序遍历结果是顺序的

// 中序遍历
public void inOrder() {
    inOrder(root);
}

private void inOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    inOrder(node.left);
    // 遍历的中间访问元素：中序遍历
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

中序遍历的结果：2 3 4 5 6 8

4. 后序遍历

应用场景：释放内存

// 后序遍历
public void postOrder() {
    postOrder(root);
}

private void postOrder(Node node) {

    if (node == null) {
        return;
    }

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    // 遍历的后面访问元素：后序遍历
    System.out.println(node.e);
}

中序遍历的结果：2 4 3 8 6 5

和二分搜索树的前序遍历不一样，层序遍历是广度优先遍历。
还是这个例子：优先遍历根节点5，然后是3、6，最后是2、4、8

//////////////////
//       5      //  
//      /      //
//     3   6    //
//   /        //
//  2   4    8  //
//////////////////

优点：

更快的找到问题的解

常用语设计算法中——最短路径

代码实现：

// 层序遍历
public void levelOrder() {
    levelOrder(root);
}

private void levelOrder(Node node) {
    // import java.util.Queue;
    // import java.util.LinkedList;
    Queue q = new LinkedList<>();
    ((LinkedList) q).add(node);

    while (!q.isEmpty()) {

        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.left != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            ((LinkedList) q).add(cur.right);
        }
    }
}

1.找到最小值的节点

从根节点一直找左节点，直到找到node.left == null，此时的node就是最小值的节点

// 二分搜索树的最小值
public E minimum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值的节点
private Node minimum(Node node) {

    if (node.left == null) {
        return node;
    }
    return minimum(node.left);
}

2.找到最大值的节点

从根节点一直找右节点，直到找到node.right == null，此时的node就是最大值的节点

// 二分搜索树的最大值
public E maximum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大值的节点
private Node maximum(Node node) {

    if (node.right == null) {
        return node;
    }
    return maximum(node.right);
}

3.删除最小值的节点

如果需要删除的节点是一个叶子节点，没有右子树，那么直接删除即可

如果需要删除的节点不是一个叶子节点，那么需要把右节点替换到当前的节点

// 删除最小值的节点
public E removeMin() {
    E min = minimum();
    root = removeMin(root);
    return min;
}

// 删除二分搜索树以node为最小值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {

    // 找到需要删除的节点
    if (node.left == null) {
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size--;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

4.删除最大值的节点

// 删除最大值的节点
public E removeMax() {
    E max = maximum();
    root = removeMax(root);
    return max;
}

// 删除二分搜索树以node为最大值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node) {

    // 找到需要删除的节点
    if (node.right == null) {
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size--;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

删除任意节点可以使用前驱（predecessor）和后继（successor）两种方法，下面使用的后继方法。
删除任意节点有三种情况：

删除只有左子树的节点

在逻辑上和删除最大值的节点是一样的

删除只有右子树的节点

在逻辑上和删除最小值的节点是一样的

删除既有左子树和右子树的节点

1962年，Hibbard提出Hibbard Deletion

原理图如下

代码实现：

// 删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
    root = remove(root, e);
}

private Node remove(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        return null;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = remove(node.left, e);
        return node;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    } else { // e == node.e

        if (node.left == null) { // 左子树为空
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        if (node.right == null) { // 右子树为空
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        // node的后继
        Node successor = minimum(node.right);
        // 把删除node.right的后继后的二叉树赋值给后继的right
        successor.right = removeMin(node.right);
        // 把node.left赋值给后继的left
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}