非对称算法之RSA

kycool 发布于2019-06-27 18:11 / 1342人阅读

摘要：找到一个正向容易，逆向很难的公式设都是已知的正整数，在知道的情况下计算容易，而只有推算很难这里得介绍一个公式记作求中与互素的数的个数如在中，，，，与互素，所以考虑为质数，则因为若质因数分解所以因为与互素有以下公式结合起来可以得到私钥可

找到一个正向容易，逆向很难的公式

$$ m^{x} equiv ypmod n$$

设$m$,$n$都是已知的正整数，在知道$x$的情况下计算$y$容易，而只有$y$推算$x$很难

这里得介绍一个公式
phi function 记作 φ

φ(n) $ 求 1~n 中与 n互素的数的个数

如 φ(8) 在1,2,3,4,5,6,7中，1，3，5，7与8互素，所以 φ(8)= 4

考虑 n为质数，则 φ(n) = n -1

因为
$$ phi(A*B) = phi(A) * phi(B) $$

若 N = P1 * P2 (质因数分解)
所以 $$ phi(N) = (P1-1) * (P2-1) $$

因为m与n互素, 有以下公式
$$ m^{phi(n)} equiv 1 pmod n $$

结合起来可以得到

$$ m^{k*φ(n)+1} equiv m pmod n $$

私钥可以写成

$$ e*d = k*φ(n)+1 $$
$$ d = frac {k*φ(n)+1} {e} $$

举例
m = 89
p1 = 53
p2 = 59
n= 53*59 = 3127
φ(n) = 52*58 = 3016
e = 3 (必须为奇数，且不与φ(n)具体公因数)
私钥
$$ d = frac {k*phi(n)+1} e = frac {2*3016+1} 3 = 2011 $$

只公开n和e
n = 3127
e = 3

加密过程

m的e次方 mod n 生成密文 c
$$ c = 89^3 mod 3127 = 1394 $$

解密过程

$$ c ^d mod n = 1394^{2011} mod 3127 = 89 $$

破解
因为只暴露 c, n ，要得到d的话，就得解出 k*φ(n)+1，也就是φ(n),这个就回到最前面的公式，很难。

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