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最大似然法与似然函数

monw3c / 1710人阅读

在统计学中,最大似然估计,也称最大概似估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法

通俗来讲,最大似然估计是利用已知的样本的结果,在使用某个模型的基础上,反推最有可能导致这样结果的模型参数值。
定义

给定一个概率分布 ${displaystyle D}​$ ,已知其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为 $f_D​$,以及一个分布参数 ${displaystyle heta }​$ ,我们可以从这个分布中抽出一个具有$ {displaystyle n} ​$个值的采样$ {displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}​$,利用${displaystyle f_{D}}​$计算出其似然函数:

​ $$lik( heta|x_1,...,Xn)=f_{ heta}(x_1,...x_n)$$

如何理解似然函数?
 理解一:

​ $L( heta|x)=f(x| heta)$

上述公式从两个角度描述了某一事件发生的情况。该等式两边都表示这个事件发生的概率。

在给定样本后,我们去想这个样本出现的可能性到底有多大?在统计学上,我们认为样本的出现是服从分布函数的,我们假设这个分布函数位$f$,里面含有参数$ heta$,对于不同的$ heta$,样本的分布也不一样。$f(x| heta)$ 就表示子在给定参数$ heta$的时候,x出现的概率为多少。

$L( heta|x)$则表示,在给定样本的x的时候,存在哪一个参数$ heta$使得x出现的可能性最大。等式的意义表示给定一个参数$ heta$和一个样本$x$的时候整个事件的可能性多大。

理解二:

在这种意义上,似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数$ heta$时,事件A会发生的概率写作:

​ $$P(A| heta)=frac{P(A, heta)}{P( heta)}$$

然后似然函数是已知$X$对于$ heta$的函数,根据贝叶斯定理,

​ $$P( heta|A)=frac{P(A| heta)P( heta)}{P(A)}$$

如何理解最大似然函数?
最大似然估计:当我们知道总体的概率分布模型的时候,但是不知道概率分布函数的参数的情况下,我们用样本来估计参数。

简单来说,就是通过确定分布函数的参数是多少的情况下,使得我们抽的当下样本的概率最大

对于极大似然估计采取的步骤一般为:

写出似然函数;

如果无法直接求导的话,对似然函数取对数;

求导数,令导数为0,得到似然方程;

解似然方程,得到的参数即为所求;

为什么要使用对数似然函数?

1.如果假设条件是独立同分布,那么似然函数往往是连乘的形式,这样子求偏导数,不容易;通过取对数的形式将连乘变为求和

2.概率值是小数,多个连乘的情况下,容易造成下溢

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