机器学习01 - Regression 案例学习 (上)

摘要：我们就有了组训练数据我们将其进化前的值和进化后的值画在一个二维坐标图上横轴为进化前的值，那每个蓝色的点都代表一只宝可梦现在我们有了和，但是我们还需要一个函数来将它们连接起来，这个函数就是接下来要讲的第三步中间蓝色的块就是误差函数。

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这个课程是来自于 YouTube 上 NTU 李宏毅老师的视频课程，老师的课讲得非常有趣，通过引入 Pokémon 来生动的讲解机器学习中一些技术的应用，只要你有一定的高数、线代以及概率基础，看这个课程无压力。
我在学习的同时将其搬运并做简单的英文翻译，并加上自己的理解与更通俗的解释。加深自己印象的同时希望能对国内不能使用 YouTube 的读者们提供一个方便。

回归运算其实就是用一个函数去拟合当前给出的数据，如下图：

图中蓝色点代表数据，我们假设这组数据是 Linear Regression 线性回归的，那我们就需要用一条直线去拟合它们，也就是那条红色的线。

Regression 的使用范围也是很广的：

股票预测：

$$ egin{eqnarray} f ( 以往多年股票的走势情况 ) = 明天的点数 end{eqnarray} $$

当然真正的股市也不可能这么简单，你能预测你就发了?

自动驾驶

$$ egin{eqnarray} f ( 传感器得到的数据 ) = 方向盘与油门的控制 end{eqnarray} $$

推荐系统
像淘宝、京东等的购物网站，会推送一些商品给你，这些商品肯定要是你喜欢的或者需要的，你才可能去购买。一个好的推荐系统可能会让这些网站的利润成倍提高。

$$ egin{eqnarray} f ( 用户 A，商品 B ) = 用户 A 购买商品 B 的可能性 end{eqnarray} $$

如果这个可能性很大的话，购物网站就会更倾向于向用户 A 推荐此商品

但今天，我们要做的是一件更加实际的事情。

比如，下面是一只妙蛙种子，你给他吃一些糖果或者星辰，它就会进化成妙蛙草，进化以后，它的 CP 值就变了。

如果我们有能力预测它进化后 CP 值的变化的话，我们就能够事先决定是否进化这只宝可梦。如果它 CP 值比较低的话，有可能你就把它拿去做糖果了? 就不进化它了，这就可以节省一些糖果用来进化更强的宝可梦。

那我们现在要做的就是，找到这么一个 function，我们输入这只宝可梦的相关数据，他就能返回给我们，进化过后，可能的 CP 值是多少。

$$ egin{eqnarray} f ( 宝可梦的信息 ) = 进化后的 CP 值 end{eqnarray} $$

这里，我们用 $x$ 代表这只宝可梦，则：

$ x_{cp} $ 代表其进化前的 CP 值，为 14

$ x_s $ 代表它所属的物种，为 妙蛙种子

$ x_{hp} $ 代表它进化前的生命值，为 10

$ x_w $ 代表它进化前的重量，为 11.62 kg

$ x_{hp} $ 代表它进化前的生命值，为 0.88 m

$y$ 则代表进化后的 CP 值

这里 $x$ 的下标表示：这些都是 $x$ 这个个体的某个属性（比如 $小明\_{体重}$、$小明\_{身高}$）。

那我们怎么来解这个问题呢，我们知道，ML 其实就是寻找一个 Model（模型），将我们的数据代进去，经过复杂的运算后就能得到我们想要的结果。

所以我们首先需要找到这个 Model。

一个 Model 其实就是一个 Function set（一组方法）。那我们要寻找的这个 Model，它应该长什么样子呢？

我们当然还是期望它能简单点，所以呢，我们就假设它是这么一个方程组：

$$ y = b + w cdot x_{cp} $$

就是一个常数 $b$ 和一个数 $w$，它们组合起来，$x$ 与 $y$ 就构成一种线性关系。当然，我们现在的 $b$ 和 $w$ 都是不确定的，它可以是任何的数字，不过我们能从直觉上排除一些组合，比如 $w$ 和 $b$ 都为负数：

$$ f_1: y = -1 - 2 cdot x $$

这样子 $y$ 就成了负数，我们知道，一个宝可梦的 CP 值是不可能为负数的，所以我们能够直接排除这类组合。

前面提到，我们假设的这个方程是一个线性的函数，所以我们这个 Model 就是一个 Linear Model（线性模型）：

$$ Linear Model: y = b + sum w_i x_i x_i：输入 x 的某个属性（如 CP） b：bias（误差） w：weight（权重） $$

有了 Model 我们就需要考虑下一个问题：

我们需要训练数据，因为 ML 就像人一样，本来就是通过一定量的基础练习，才能够学到这类数据的共通点。像下面这个图，左侧是杰尼龟，右侧则是杰尼龟进化后，变成的卡咪龟：

那现在，整个 Model 的 输入就是这只杰尼龟，我们用 $x^1$ 来表示，那这只 卡咪龟 我们就用 $widehat{y}^1$ 来表示。这里 $x$ 和 $widehat{y}$ 的上标表示：这是一个完整的个体，1 只是它的编号（比如 $学生^1$ 、$学生^2$），至于 hat（就是 $widehat{y}$ 头上的那个尖尖符号），它代表这是一个准确的值（因为这是真实的数据，为了和后面预测出来的数据 $y$ 做区分）。

只有一只肯定不够呀，我们需要很多的数据，就要抓足够多的宝可梦，比如这只 伊布，它进化过后就是 雷精灵：

那我们同样就能够得到$x^2$ 和 $widehat{y}^2$，就像这样：

嗯，我们搜集了十只宝可梦?????????? ，数据可以从这里找到。

我们就有了 10 组 Training Data（训练数据）：

$$ (x^1,widehat{y}^1) (x^2,widehat{y}^2) vdots (x^{10},widehat{y}^10) $$

我们将其进化前的 CP 值和进化后的 CP 值画在一个二维坐标图上（横轴为进化前的 CP 值），那每个蓝色的点都代表一只宝可梦：

现在我们有了 Model 和 Training Data，但是我们还需要一个函数来将它们连接起来，这个函数就是接下来要讲的：

中间蓝色的块就是 Loss Function（误差函数）。为什么需要这个函数呢，因为我们现在需要根据这 10 只已知宝可梦数据，代入 Model 推测出它们进化后的 CP 值，然后再与实际的 CP 值进行比较，来慢慢调整 Model 中的 weight 和 bias。所以，我们需要有一个函数来评判这次推测的误差度，这就是 Loss Function：

$$ egin{cases} L(f) = L(w,b) = sum\_{n=1}^{10} (widehat{y}^n - y^n)^2 y^n = b + wcdot x\_{cp}^n end{cases} Downarrow L(f) = sum\_{n=1}^{10} (widehat{y}^n - (b + wcdot x\_{cp}^n))^2 $$

上面的方程其实就是将 $widehat{y}$ 准确值减去$y$估测值，然后将其平方，再将 10 只宝可梦都这样计算并加起来。

我们要做的就是从我们的 Model 中挑选出一个 function $f$，它能够让 Loss Function $L(f)$ 的计算结果最小，这个 function 我们就将它命名为 $f^*$：

$$ f^* = arg min_f L(f) $$

或者从另一个角度考虑，我们的 function 其实就只由 weight $w$ 和 bias $b$ 来确定的，那上面的公式还可以写成如下：

$$ w^*, b^* = arg min\_{w,b} L(w,b) $$

我们需要做的就是 穷举所有的 ? 和 ?，直到找到最佳的那一对，让 Loss Function $L$ 最小。

上面说的穷举真不是一个好办法（基本没法实现），那我们能不能找一个更好、更有效率的办法解决这个问题呢？有！

用线性代数的办法：求解非齐次线性方程组（由于这里的方程并不是同解，所以这个办法还是会有些折腾）

用高等数学的办法：L 可微分，求梯度即可

如下曲线，我们随机选择一个起点 $w^0$，然后在这个点上对 $L$ 求 $w$ 的微分 $frac{dL}{dw}|\_{w=w^0}$:

如果你还搞不太懂微分是啥，那就假想这个曲线是一个山坡，你站在 $w^0$ 上，向左迈一步（$w$ 减小）或者向右迈一步 ($w$ 增大)，然后看往哪边走 $L$ 会变小就往那个方向走一步，得到一个新的位置 $w^1$，然后这样不断重复，就有机会走到最低点。

$$ w^1 gets w^0 - eta frac{dL}{dw}|\_{w=w^0} $$

那新问题出现了，我们步子该迈多大呢？Gradient Descent 中，这个步子的大小为:

$$ - {color{red}eta} frac{dL}{dw}|\_{w=w^0} $$

其中，$frac{dL}{dw}|\_{w=w^0}$ 为 $w^0$ 处的梯度，${color{red}eta}$ 是一个常数项，我们把它叫做 Learning Rate（学习速率），它是一个事先定好的数值，越大，每踏出一步的距离就越大，这意味着学习得就越快。负号则是因为，我们所求的梯度如果是负值说明我们往这个方向前进，$L$ 就会变小，我们就需要增大 $w$，所以，梯度的符号和我们前进的方向是相反的关系。

到了 $w^1$ 后重新计算梯度，很明显这里的梯度比 $w^0$ 小了很多，所以迈的下一步也会随之变小。经过很多次的调整行走后，我们终于走到了 $w^T$，在这个地方，微分趋近于 0，算法就认为这里是最好的点了（让 $L$ 最小的点）。

但很明显我们能看到，这只是一个 Local Minimum（局部最小），全局最小的点并不在这里，当然 Linear Model 不太会存在这种走到 Local Minimum 的情况，至于为什么，后面会给予说明。

我们总的过程用公式表达就是这样的：

$$ 随机选择一个初始的 w^0 和 b^0 Downarrow 分别对 w^0 和 b^0 做微分并计算下一个点 w^1 和 b^1： egin{cases} w^1 gets w^0 - {color{red}eta} frac{dL}{dw}|\_{w=w^0,b=b^0} b^1 gets b^0 - {color{red}eta} frac{dL}{db}|\_{w=w^0,b=b^0} end{cases} Downarrow 分别对 w^1 和 b^1 做微分并计算下一个点 w^2 和 b^2： egin{cases} w^2 gets w^1 - {color{red}eta} frac{dL}{dw}|\_{w=w^1,b=b^1} b^2 gets b^1 - {color{red}eta} frac{dL}{db}|\_{w=w^1,b=b^1} end{cases} vdots 最终得到一组让 L 最小的 w^T 和 b^T $$

Gradient Descent 到底是什么呢？其实就是将 $L$ 分别对 $w$ 和 $b$ 做偏微分，最后组成一个向量：

$$ abla L = egin{bmatrix} frac{partial L}{partial w} frac{partial L}{partial b} end{bmatrix} _{gradient} $$

当然如果你还是有点点糊涂的话，下面这张图就能更好地向你说明，Gradient Descent 的原理：

Gradient Descent 其实就相当于每次计算所处位置圆弧的法线方向，这个方向是数值变化最明显的方向，所以照着这个方向能最快的走到最低点。

但是，遇到这种图怎么办？

不用担心（至少现在），因为 Linear Model 的图形其实不会像上面的图那样，而是像上面第二张图那样的，一圈一圈很规整的凹面图形，几乎不存在 Local Minimum 的问题。

最后，我们看一下 $frac {partial L} {partial w} $ 和 $frac {partial L} {partial b} $ 都怎么计算的（如果你不会的话，可要恶补一下高等数学了）

$$ L(f) = sum\_{n=1}^{10} (widehat{y}^n - (b + wcdot x\_{cp}^n))^2 Downarrow egin{cases} frac {partial L} {partial w} = sum\_{n=1}^{10} 2cdot (widehat{y}^n - (b + wcdot x\_{cp}^n))(-x\_{cp}^n) frac {partial L} {partial b} = sum\_{n=1}^{10} 2cdot (widehat{y}^n - (b + wcdot x\_{cp}^n)){-1} end{cases} $$

我们讲了 Regression（线性回归） 的一些作用与高大上的一些应用场景，不过这些都是很复杂的应用；

然后我们就提出了一个用 Regression 来解决宝可梦升级 CP 值预测的系统；

通过将宝可梦的属性代数化：$x$ 代表某个宝可梦个体、$x_{cp}$ 代表它的 CP 值、$x_h$ 代表它的高度等等，让我们能够通过代数的方法解决这个预测 CP 的问题；

在最开始，我们需要建立一个 Model（模型），Model 其实就是一堆 Function（计算方法）的集合，我们将一些数据输入进去，他就能输出我们想要的结果：比如我们输入一只宝可梦的数据，他就能输出这只宝可梦进化后的 CP 值；

在第二步，我们需要 Training Data（训练数据）。我们需要有大量的训练数据，才能够教会我们的模型正确预测可能的 CP 值变化；

有了 Model 和 Training Data，我们还需要有 Loss Function（误差函数）来评价我们当前模型的好坏，其实它的实现很简单，就是一个普通的函数，然后将 Model 预测的 CP 值，和实际已知进化后的 CP 值做比较，他们差距越大，Loss Funciton 输出的 $L$ 也就越大，越小说明预测得越准确；

最后我们讲了如何训练这个 Model，用 Gradient Descent（梯度下降）算法来调节模型，梯度下降算法其实就是通过高等数学中的微分运算，找到一个能让 $L$ 变得更小的方向（并且这个方向是能让 $L$减小得最快的），根据这个方向来决定是增大参数的大小还是减小参数的大小，总之，我们能够通过不断地训练调节，得到一个能比较合理的、误差尽可能小的模型。

今天就先写到这里，小步快跑，下次更新见...

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