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最短路径算法总结

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摘要:对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,任意一条的结点数不会超过,边数不会超过。我会说只有三个吗适用于任何图,不管有向无向,边权正负,但是最短路必须存在。

定义
(还记得这些定义吗?如果对 图的概念 和 存储 不了解请点击链接)

路径
最短路
有向图中的最短路、无向图中的最短路
单源最短路、每对结点之间的最短路
性质
对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,不会经过重复的结点。

对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,不会经过重复的边。

对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,任意一条的结点数不会超过 n ,边数不会超过 n−1 。

Floyd 算法
是用来求任意两个结点之间的最短路的。

复杂度比较高,但是常数小,容易实现。(我会说只有三个 for 吗?)

适用于任何图,不管有向无向,边权正负,但是最短路必须存在。(不能有个负环)

实现
我们定义一个数组 fk[y] ,表示只允许经过结点 1 到 k ,结点 x 到结点 y 的最短路长度。

很显然, fn[y] 就是结点 x 到结点 y 的最短路长度。

我们来考虑怎么求这个数组

f0[y] :边权,或者 0 ,或者 +∞ ( f0[x] 什么时候应该是 +∞ ?)

fk[y] = min(fk-1[y] fk-1[k]+fk-1[y])

上面两行都显然是对的,然而这个做法空间是 O(N3) 。

但我们发现数组的第一维是没有用的,于是可以直接改成 fx = min(fx fx+fk) ,

for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)

f[i][j] = min(f[i][j] f[i][k] + f[k][j]);

时间复杂度是 O(N3) ,空间复杂度是 O(N2) 。

应用
"给一个正权无向图,找一个最小权值和的环。"
首先这一定是一个简单环。

想一想这个环是怎么构成的。

考虑环上编号最大的结点 u。

fu-1[y] 和 (ux) (uy)共同构成了环。

在 Floyd 的过程中枚举 u,计算这个和的最小值即可。

O(n3) 。

"已知一个有向图中任意两点之间是否有连边,要求判断任意两点是否连通。"
该问题即是求 图的传递闭包 。

我们只需要按照 Floyd 的过程,逐个加入点判断一下。

只是此时的边的边权变为 1/0 ,而取 min 变成了 与 运算。

再进一步用 bitset 优化,复杂度可以到 O(n3w) 。

// std::bitset f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
for (i = 1; i <= n; i++)
if (fi) f[i] = f[i] & f[k];
Bellman-Ford 算法
一种基于松弛(relax)操作的最短路算法。

支持负权。

能找到某个结点出发到所有结点的最短路,或者报告某些最短路不存在。

在国内 OI 界,你可能听说过的“SPFA”,就是 Bellman-Ford 算法的一种实现。(优化)

实现
假设结点为 S 。

先定义 dist(u) 为 S 到 u (当前)的最短路径长度。

relax(uv) 操作指: dist(v)=min(dist(v)dist(u)+edge_len(uv)) .

relax 是从哪里来的呢?

三角形不等式: dist(v)≤dist(u)+edge_len(uv) 。

证明:反证法,如果不满足,那么可以用松弛操作来更新 dist(v) 的值。

Bellman-Ford 算法如下:

while (1) for each edge(u v) relax(u v);
当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 O(m) 的,那么最多会循环多少次呢?

答案是 ∞ !(如果有一个 S 能走到的负环就会这样)

但是此时某些结点的最短路不存在。

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 +1 ,而最短路的边数最多为 n−1 。

所以最多执行 n−1 次松弛操作,即最多循环 n−1 次。

总时间复杂度 O(NM) 。 (对于最短路存在的图)

relax(u v) {

dist[v] = min(dist[v] dist[u] + edge_len(u v));

}
for (i = 1; i <= n; i++) {

dist[i] = edge_len(S i);

}
for (i = 1; i < n; i++) {

for each edge(u v) {
    relax(u v);
}

}
注:这里的 edge_len(uv) 表示边的权值,如果该边不存在则为 +∞ , u=v 则为 0 。

应用
给一张有向图,问是否存在负权环。

做法很简单,跑 Bellman-Ford 算法,如果有个点被松弛成功了 n 次,那么就一定存在。

如果 n−1 次之内算法结束了,就一定不存在。

队列优化:SPFA
即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然,只有上一次被松弛的结点,所连接的边,才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”,就能只访问必要的边了。

q = new queue();
q.push(S);
in_queue[S] = true;
while (!q.empty()) {

u = q.pop();
in_queue[u] = false;
for each edge(u v) {
    if (relax(u v) && !in_queue[v]) {
        q.push(v);
        in_queue[v] = true;
    }
}

}
虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快,但其最坏情况下的时间复杂度为 O(NM) ,将其卡到这个复杂度也是不难的,所以考试时要谨慎使用(在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法,在有负权边且题目中的图没有特殊性质时,若 SPFA 是标算的一部分,题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围)。

SPFA 的优化之 SLF
即 Small Label First。

即在新元素加入队列时,如果队首元素权值大于新元素权值,那么就把新元素加入队首,否则依然加入队尾。

该优化在确实在一些图上有显著效果,但是如果有负权边的话,可以直接卡到指数级。

Dijkstra 算法
Dijkstra 是个人名(荷兰姓氏)。

IPA:/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/。

这种算法只适用于非负权图,但是时间复杂度非常优秀。

也是用来求单源最短路径的算法。

实现
主要思想是,将结点分成两个集合:已确定最短路长度的,未确定的。

一开始第一个集合里只有 S 。

然后重复这些操作:

对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。
从第二个集合中,选取一个最短路长度最小的结点,移到第一个集合中。
直到第二个集合为空,算法结束。

时间复杂度:只用分析集合操作, n 次 delete-min , m 次 decrease-key 。

如果用暴力: O(n2+m)=O(n2) 。

如果用堆 O(mlogn) 。

如果用 priority_queue: O(mlogm) 。

(注:如果使用 priority_queue,无法删除某一个旧的结点,只能插入一个权值更小的编号相同结点,这样操作导致堆中元素是 O(m) 的)

如果用线段树(ZKW 线段树): O(mlogn+n)=O(mlogn)

如果用 Fibonacci 堆: O(nlogn+m) (这就是为啥优秀了)。

等等,还没说正确性呢!

分两步证明:先证明任何时候第一个集合中的元素的 dist 一定不大于第二个集合中的。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步,一开始时成立(基础),在每一步中,加入集合的元素一定是最大值,且是另一边最小值,每次松弛操作又是加上非负数,所以仍然成立。(归纳)(利用非负权值的性质)

第二步,考虑每次加进来的结点,到他的最短路,上一步必然是第一个集合中的元素(否则他不会是第二个集合中的最小值,而且有第一步的性质),又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了,所以最短路显然确定了。

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