摘要：学习速率的取值问题当取值较大时，即梯度下降迭代的步长较大，梯度下降迭代过程较快。在处的次梯度集称为微分集并表示为。在随机梯度下降中，我们不要求更新方向完全基于梯度。相反，我们允许方向为随机向量，并要求其期望值为当前向量处函数的次梯度。
假定给定函数： ，求解该函数的极小值时，k的取值是多少？
通常做法：对 求导，然后令导数=0，求解 k 值即为所求：
求导解法在复杂实际问题中很难计算。迭代法通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决优化问题。其基本形式如下：
其中 被称为学习效率。
假设初始化 ，为了通过迭代让 趋近最优解2， 要满足两个条件：
- 要能使 向最优解逼近。
- 当 达到最优解时， 要等于0。当 达到最优解的时候， 要等于 ，即：
因此，我们的核心问题：寻找 满足上述两个要求。
随着迭代的不断进行， 可以使 向最优值逼近。而且，当 离最优值越近时， 的绝对值就越来越小。当达到最优解时，。
学习速率的取值问题：
- 当 取值较大时，即梯度下降迭代的步长较大，梯度下降迭代过程较快。可以快速迭代到最优解附近，但是可能一直在最优解附近徘徊，无法找出最优解。
- 当 取值较小时，即梯度下降迭代的步长较小，梯度下降迭代过程较慢。
梯度优化：方向+步长
可微函数的梯度 ： 在 处， 表示为是 的偏导数的向量，即：
梯度下降是一种迭代算法：
- 从初始值 开始。
- 在每次迭代中，我们沿着当前点梯度的负方向迈出下一步：
其中， 为学习率。直观地说，该算法在梯度点的相反方向上迈出了一小步，从而降低了函数的值。在 次迭代之后，算法输出最后一个向量 。
输出也可以是平均向量 。取平均值是非常有用的，特别是当我们将梯度下降推广到不可微函数和随机情况时。
【证明】，即：梯度不断下降。
由于，。
由于 ，学习率 ，所以 ，故：
Lipschitz连续：对于在实数集的子集的函数 ，若存在常数 ，使得 ，则称函数 符合利普希茨条件。
为了分析GD算法的收敛速度，我们仅限于凸 Lipschitz 函数的情况。 是 在 条件下的最小值的点坐标。
- 假设：
- 求证： 有界
凸函数性质（1）：
证明方法（1）：
即，判断上述关系即可：
从图上可以看出，，且趋近于0时取等号。
故，
凸函数性质（2）：
证明：将 进行泰勒展开可得：
，且 处为偏导最小处，即 。
，且 处为偏导最小处，即 。
即：
故：
因此：
合体证明性质（1）（2）：
设 是向量的任意序列。任何具有初始化 和以下形式的更新规则的算法：
满足：
前提（1）：
前提（2）：
证明：
即：
特别的，对每个 ，如果对所有的 都存在 使得 ，且对每个 且 ，都存在：
证明：由前面可得
令
令 ，可得 得极小值，因此也是T的最小值。
且：
，当且仅当
在允许一定误差的情况下：对任意的 ，使得：
则必须满足：
即：，T 存在最小值。
次梯度方法是传统的梯度下降方法的拓展，用来处理不可导的凸函数。它的优势是比传统方法处理问题范围大，劣势是算法收敛速度慢。
对于光滑的凸函数而言，我们可以直接采用梯度下降算法求解函数的极值，但是当函数不处处光滑、处处可微的时候，梯度下降就不适合应用了。因此，我们需要计算函数的次梯度。对于次梯度而言，其没有要求函数是否光滑，是否是凸函数，限定条件很少，所以适用范围更广。
允许 是一个开凸集。 函数 是一个凸函数。满足下列条件的向量 ：
称为 在 处的次梯度。 在 处的次梯度集称为微分集并表示为 。
【定义法】如果 在 处可微，那么 包含一个元素 在 处的梯度为 。例如： 。
由于 在 处不可导，因此根据定义：
即：
【对比法】令 关于 的凸可微函数 。存在某些 使得 ，则 。
此时，取值C，D处作为次梯度点。
证明：
前提：
选择 C 作为次梯度点：
即，可得：
可得：
选择 B 作为次梯度点：
即，可得：
此时， 无解，故不可作为次梯度点。
在随机梯度下降中，我们不要求更新方向完全基于梯度。相反，我们允许方向为随机向量，并要求其期望值为当前向量处函数的次梯度。
在随机梯度下降中，我们不要求更新方向完全基于梯度。相反，我们允许方向为随机向量，并要求其期望值为当前向量处函数的次梯度。
SGD伪码：在学习问题的背景下，很容易找到期望值为风险函数次梯度的随机向量。例如，每个样本的风险函数梯度。
机器学习：支持向量机（SVM）_燕双嘤-CSDN博客1，算法描述支持向量机（SVM）是用来解决分类问题的。作为数据挖掘领域中一项非常重要的任务，分类目前在商业上应用最多（比如分析型CRM里面的客户分类模型、客户流失模型、客户盈利等，其本质上都属于分类问题）。而分类的目的则是构造一个分类函数或分类模型，该模型能吧数据库中的数据项映射到给定类别中的某一个，从而可以用来预测未知类别。先考虑最简单的情况，比如豌豆和米粒，用筛子很快可以分离它们，小颗粒漏下去，大颗粒保留。用函数来表示就是当直径d大于某个值D，就判定其为豌豆，小于D就是米粒。在数轴上就是D左边https://shao12138.blog.csdn.net/article/details/121164645当最优化时的函数不是全区间可微时，无法通过对偶问题解决，此时可以使用SGD实现SVM。
为了应用SGD，我们必须将上式中的优化问题转化为无约束问题：
更新规则：
求梯度可得：
：在迭代 选择的随机例子上， 处损失函数的次梯度。
特别的，对每个 ，如果对所有的 都存在 使得 ，且对每个 且 ，都存在：
证明：
由2.3节证明的性质可得：
下面过程同2.4节，得：
，
故：
即证明：
同理，如果使得 都成立，则要求：
即：，T 存在最小值。
在之前对GD和SGD算法的分析中，我们要求 ，这相当于对 划定了一个半径为 的区间，然后进行选择。
但大部分时候我们无法保证全部的 的时候，可以采用增加投影的方法求解问题：
，不考虑范围求得一个值。
，然后投影到 上。
我们可以求得，D为最近的点，即投影点，B，E也是，但是不是最小的投影点。
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