Python 练习题 --- 梯度下降

番茄西红柿发布于2021-10-11 10:59 / 3155人阅读

Python 练习题 --- 梯度下降

题目来源：在校课程老师布置的作业
偷偷说一句：如果对我的答案和解析满意的话可不可以给我 点个赞 ， 点个收藏 之类的
Let's do it !!!

题目要求

已知某系统模型可由 $y = 2 x + 3$ 表示

对该系统实际采样得到 4 个样本：(0，3.1)、(1，4.9)、(2，7.2)、(3，8.9)

根据采样数据使用一维线性回归算法估计该模型： $f (x) = w x + b$

选取损失函数： $/sum_{i=1}^{n}{(y^i-(b+wx^i))}^2$

基于 梯度下降算法 估计参数 w 和 b。

提示：
$grad_w = /frac{/partial L}{/partial w}=/frac{1}{n} /displaystyle /sum_{i=1}^{n}{(f/left(x^i/right)-y^i)x^i}$

$grad_b = /frac{/partial L}{/partial b}=/frac{1}{n} /displaystyle /sum_{i=1}^{n}{(f/left(x^i/right)-y^i)}$

其中：

n 是样本数，（ $x_i$ ， $y_i$ ）是样本点， $f(x_i)=/ b+wx^i$ 是模型估计值。

问题：

假设初始值 w = 0，b = 0，学习率 η= 0.01，根据已采集的 4 个样本，基于 梯度下降算法 估计 w 和 b，请计算 第1次 至 第3次 迭代的结果，要求 给出计算过程 及 每次迭代后的平均误差 。

假设初始值 w = 0，b = 0，请用 python 编程计算学习率为 η= 0.01 和 η= 0.001 时迭代 100 次的结果。

思路讲解

这道题就是简单的 梯度下降 ，公式已经给出来了，我们就直接按照公式实现即可。

第一题

第一题要求手写，有了初始条件 $w = 0, b = 0, η = 0.01$ ，很容易写出来梯度下降的过程。
我写了个程序输出，代码如下：

w = 0b = 0eta = 0.01def process():        global w, b        x = x_train.reshape(1, -1)[0]    y_hat = x * w + b    y = y_train.reshape(1, -1)[0]    diff = y - y_hat        print('(' + '+'.join(map(lambda x:str(round(x, 4)), diff**2)) + f')/{2*x.shape[0]} =', round((diff**2 / (2*x.shape[0])).sum(), 4))        grad_w = -diff * x    print('(' + '+'.join(map(lambda x:f'({round(x, 4)})', grad_w)) + f')/{x.shape[0]} =', round(grad_w.sum() / x.shape[0], 4))    w -= eta * grad_w.sum() / x.shape[0]    print('w =', w)    grad_b = -diff    print('(' + '+'.join(map(lambda x:f'({round(x, 4)})', grad_b)) + f')/{x.shape[0]} =', round(grad_b.sum() / x.shape[0], 4))    b -= eta * grad_b.sum() / x.shape[0]    print('b =', b)for i in range(1, 4):    print('Epoch', i)    process()    print()

Epoch 1 ：
$loss = (9.61+24.01+51.84+79.21)/8 = 20.5838 // grad_w = ((-0.0)+(-4.9)+(-14.4)+(-26.7))/4 = -11.5 // w = 0.115 // grad_b = ((-3.1)+(-4.9)+(-7.2)+(-8.9))/4 = -6.025 // b = 0.06025$
Epoch 2 ：
l o s s = ( 9.2401 + 22.3233 + 47.7446 + 72.1608 ) / 8 = 18.9336 g r a d w = ( ( − 0.0 ) + ( − 4.7248 ) + ( − 13.8195 ) + ( − 25.4842 ) ) / 4 = − 11.0071 w = 0.2251 g r a d b = ( ( − 3.0398 ) + ( − 4.7248 ) + ( − 6.9098 ) + ( − 8.4948 ) ) / 4 = − 5.7922 b = 0.1182 loss = (9.2401+22.3233+47.7446+72.1608)/8 = 18.9336 // grad_w=((-0.0)+(-4.7248)+(-13.8195)+(-25.4842))/4 = -11.0071 // w = 0.2251 // grad_b=((-3.0398)+(-4.7248)+(-6.9098)+(-8.4948))/4 = -5.7922 // b = 0.1182 //
loss=(9.2401+22.3233+47.7446+72.1608)/8=18.9336gradw=((−0.0)+(−4.7248)+(−13.8195)

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