程序员的算法趣题Q46: 唯一的OX序列

y1chuan 发布于2021-09-30 09:47 / 2207人阅读

摘要：可以在遍历所有矩阵时，对各种出现的次数进行计数，最后计数值为的个数即为所求结果。上一篇排序交换次数的最少化排序交换次数的最少化本系列总目录参见程序员的算法趣题详细分析和全解程序员的算法趣题详细分析和全解

1. 问题描述

2. 解题分析

3. 代码及测试

4. 后记

1. 问题描述

当n=4时，像上述例子一样，根据统计结果重新排列O和X的位置，只有一种排列方式的O和X的排列一共有多少种呢？

2. 解题分析

因为是对O计数，可以用1代表O，用0代表x，这样原矩阵就转化为一个二进制矩阵。

以下采用暴力搜索法。

对N*N的所有可能的二进制矩阵进行N行和N列的，所得的2*N个值形成的排列{r1_sum, r2_sum, …,rN_sum, c1_sum, c2_sum, …, cN_sum }构成这个矩阵的signature。然后查询值对应唯一的矩阵的signature的个数。可以在遍历所有矩阵时，对各种signature出现的次数进行计数，最后计数值为1的signature个数即为所求结果。signature出现的次数可以用哈希表来存储，在python中就是dict()。

N*N的所有可能的二进制矩阵种类数为 , N=4时为65536，随着N增大急剧增大。

算法流程如下所示：

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Wed Sep 29 07:51:03 2021@author: chenxy"""import sysimport timeimport datetimeimport math# import randomfrom   typing import List# from   queue import Queuefrom   collections import dequeimport itertools as itimport numpy as npN = 4sigCount = dict()tStart = time.perf_counter()for node in it.product([0,1],repeat=N**2):    a = np.array(node).reshape(N,N)    # print(a)    col_sum = np.sum(a,axis=0)    row_sum = np.sum(a,axis=1)    sig = tuple(np.concatenate((col_sum,row_sum)))    if sig in sigCount:        sigCount[sig] += 1    else:        sigCount[sig]  = 1count = 0for key in sigCount:    if sigCount[key] == 1:        count += 1tCost = time.perf_counter() - tStartprint("N = {0}, count={1}, tCost = {2:6.3f}(sec)".format(N,count,tCost))

运行结果：N = 4, count=6902, tCost = 0.891(sec)

4. 后记

有两个可能改进方案：

用二进制的形式来表示矩阵，以位操作的方式实现行和以及列和计算
矩阵中任意一个子矩阵的4个顶点按对角线分为两组，一组为全0、另一组为全1的情况下，很明显可以构成出和它所对应相同的signature的不同矩阵，因此可以排除在搜索范围之外

以后回头来补上这些改进解。

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