目录

0.前言

1.理论基础

2.Cauchy分布的极大似然估计

2.1理论基础

2.2算法

2.2.1R语言实现

2.2.2Python语言实现

3.Gamma 分布的极大似然估计

3.1理论基础

3.2算法

3.2.1R语言实现

3.2.2Python语言实现

0.前言

        最近在学习Theory and Method of Statistics（统计理论方法）,使用的教材是由Bradley Efron 、Trevor Hastie共同编写的Computer Age Statistical Inference: Algorithms, Evidence, and Data Science(《计算机时代的统计推断：算法、演化和数据科学》)。书中第四章讲述的Fisherian Inference and Maximum Likelihood Estimation（费雪推断和极大似然估计）,其中提到现实应用中极大似然估计并没有那么容易求解,比如Cauchy分布和Gamma分布。

        如果极大似然估计方法没有显式解,可以考虑用数值计算的方法求解(如牛顿法);更进一步，如果二阶导不存在或Hessian矩阵非正定,可以使用拟牛顿法;再复杂一些,可以使用MM算法(EM是MM的特例)​ 。本文以牛顿法为例,给出求解 Cauchy分布、Gamma分布的极大似然估计参数的理论并使用R和Python实现。

1.理论基础

        本节给出牛顿法求分布的极大似然参数估计的一般理论。

        如果随机变量 独立同分布于,且已知一组样本​ ,为了估计该分布的参数，可以使用极大似然估计的方法。

       首先写出样本的似然函数

       对​ 进行对数化处理,得到对数似然函数

       则求解未知参数等价于求解以下等式方程组

       不妨假设收敛解为​ ,将在​ 的邻域内展开成泰勒级数得

       这样就得到一个迭代关系式

       如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能。 粗略地说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

2.Cauchy分布的极大似然估计

        如果随机变量服从柯西分布,记为 ,其中为最大值一半处的一半宽度的尺度参数(scale parameter ),为定义分布峰值位置的位置参数(location parameter )

       当 ,此时的Cauchy 分布称为标准Cauchy 分布

       Cauchy 分布的最特别的性质是其期望及高阶矩都不存在,自然也就无法对参数进行矩估计。但Cauchy分布的cdf具有很好的性质,可以利用一组样本的分位点来对参数进行点估计。

2.1理论基础

        使用极大似然方法估计,已知样本

        故迭代公式为

2.2算法

Step0:给定,,停止精度

Step1:计算 ,如果

       则终止,否则进行下一步

Step2:计算 ,令

Step3:计算, 跳转Step1

2.2.1R语言实现

# 设立牛顿算法框架Newtons = function(fun, x, theta,ep = 1e-5, it_max = 100){  index = 0 ;k = 1  while (k <= it_max){    theta1 = theta    obj = fun(x,theta)    theta = theta - solve(obj$J,obj$f)    norm = sqrt((theta - theta1) %*% (theta - theta1))    if (norm < ep){      index = 1; break    }    k = k + 1  }  obj = fun(x,theta)  list(root = theta, it = k, index = index, FunVal = obj$f)}# 计算hessian矩阵和一阶导数funs = function(x,theta){  n = length(x)  temp_1 = (x-theta[2])^2+theta[1]^2  temp_2 = (x-theta[2])^2-theta[1]^2  f = c(n/theta[1]-sum(2*theta[1]/temp_1),          sum((2*(x-theta[2]))/temp_1))  J = matrix(c(-n/theta[1]^2-sum(2*temp_2/temp_1^2), -sum((4*theta[1]*(x-theta[2]))/temp_1^2),                -sum((4*theta[1]*(x-theta[2]))/temp_1^2),sum(2*temp_2/temp_1^2)), nrow = 2, byrow = T)  list(f = f, J = J)}# 抽取1000个样本set.seed(80)sample = rcauchy(1000,scale = 2,location = 2)# 计算cauchy分布参数的分位数估计作为初始值gamma_ = quantile(sample,0.75) - median(sample)theta_ = median(sample)theta = c(gamma_,theta_)Newtons(funs,sample,theta)

2.2.2Python语言实现

import numpy as npimport scipy.stats as stnp.random.seed(12)sample = st.cauchy.rvs(loc=1,scale = 1,size = 100) # scipy.stats.cauchy.rvs(loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)gamma_ = np.quantile(sample,0.75) - np.median(sample)theta_ = np.median(sample)theta = np.array([gamma_,theta_])def Newtons(fun,x,theta,ep=1e-5,it_max = 100):    index = 0    k = 1    while k <= it_max:        theta1 = theta        obj = fun(x,theta)        theta = theta - np.dot(np.linalg.inv(obj[1]),obj[0])        norm = np.sqrt(np.sum((theta - theta1)**2))        if norm < ep:            index = 1            break        k = k+1    obj = fun(x,theta)    print("gamma,theta估计值为%.3f,%.3f"%(theta[0],theta[1]))def funs(x,theta):    n = len(x)    temp_1 = (x - theta[1]) ** 2 + theta[0] ** 2    temp_2 = (x - theta[1]) ** 2 - theta[0] ** 2    f = np.array([n/theta[0]-np.sum(2*theta[0]/temp_1),                  np.sum((2*(x-theta[1]))/temp_1)])    j = np.array([[-n/theta[0]**2-sum(2*temp_2/temp_1**2),-np.sum((4*theta[0]*(x-theta[1]))/temp_1**2)],                  [-np.sum((4*theta[0]*(x-theta[1]))/temp_1**2),sum(2*temp_2/temp_1**2)]])    return [f,j]Newtons(funs,sample,theta)

3.Gamma 分布的极大似然估计

        如果随机变量 服从Gamma分布,记为,其中为形状参数(shape parameter),β 为尺度参数(scale parameter ),λ 为位置参数(location parameter)

        为了给出Gamma分布三个参数的矩估计，现考虑分布的一二三阶原点矩(求解的技巧在于凑Gamma函数)

        以一阶原点矩的证明为例，将x拆分为

故

 ①                                                                                    

        对于二阶三阶原点矩，分别将拆分为

        易得

        又

②

③

        由①②③可得

3.1理论基础

        已知样本,参数

        故迭代公式为

3.2算法

Step0:给定,,停止精度

Step1:计算 ,如果

       则终止,否则进行下一步

Step2:计算 ,令

Step3:计算, 跳转Step1

3.2.1R语言实现

# 设立牛顿算法框架Newtons = function(fun, x, theta,ep = 1e-5, it_max = 100){  index = 0; k = 1  while (k <= it_max ){    theta1 = theta; obj = fun(x,theta)    theta = theta - solve(obj$J,obj$f)    norm = sqrt((theta - theta1) %*% (theta - theta1))    if (norm < ep){      index = 1; break    }    k = k + 1  }  obj = fun(x,theta)  list(root = theta, it = k, index = index, FunVal = obj$f)}# 计算hessian矩阵和一阶导数funs = function(x,theta){  n = length(x)  f = c(-n*log(theta[2])-n*digamma(theta[1])+sum(log(x-theta[3])),          -n*theta[1]/theta[2]+1/(theta[2]^2)*sum(x-theta[3]),         (theta[1]-1)*sum(-1/(x-theta[3]))+n/theta[2])  J = matrix(c(-n*trigamma(theta[1]), -n/theta[2], sum(-1/(x-theta[3])),                -n/theta[2],n*theta[1]/(theta[2]^2)-2/(theta[2]^3)*sum(x-theta[3]),-n/(theta[2]^2),                sum(-1/(x-theta[3])),-n/(theta[2]^2),(theta[1]-1)*sum(-1/(x-theta[3])^2)), nrow = 3, byrow = T)  list(f = f, J = J)}# 抽取随机gammaset.seed(80)sample = rgamma(100,2,)# 计算gamma分布参数的矩估计作为初始值s_m = mean(sample)s_v = var(sample)m_3 = (sum((sample-s_m)^3))/length(sample)alpha = (4*(s_v)^3)/(m_3^2)beta = m_3/(2*s_v)lambda = s_m-2*((s_v)^2/m_3)theta = c(alpha,beta,lambda)Newtons(funs,sample,theta)

3.2.2Python语言实现

import numpy as npimport scipy.stats as stimport scipy.special as spnp.random.seed(12)sample = st.gamma.rvs(2,scale = 1,size = 50) # scipy.stats.gamma.rvs(a, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)s_m = sample.mean()s_v =sample.var()m_3 = np.mean(((sample - s_m)**3))alpha = (4*(s_v)**3)/(m_3**2)beta = m_3/(2*s_v)lambda_ = s_m-2*((s_v)**2/m_3)theta = np.array([alpha,beta,lambda_])def Newtons(fun,x,theta,ep=1e-5,it_max = 100):    index = 0    k = 1    while k <= it_max:        theta1 = theta        obj = fun(x,theta)        theta = theta - np.dot(np.linalg.inv(obj[1]),obj[0])        norm = np.sqrt(np.sum((theta - theta1)**2))        if norm < ep:            index = 1            break        k = k+1    obj = fun(x,theta)    print("alpha,beta,lambda估计值为%.3f,%.3f,%.3f"%(theta[0],theta[1],theta[2]))def funs(x,theta):    n = len(x)    f = np.array([-n*np.log(theta[1])-n*sp.digamma(theta[0])+np.sum(np.log(x-theta[2])),                  -n*theta[0]/theta[1]+1/(theta[1]**2)*np.sum(x-theta[2]),                  (theta[0]-1)*np.sum(-1.0/(x-theta[2]))+n/theta[1]])    j = np.array([[-n*sp.polygamma(1,theta[0]),-n/theta[1],np.sum(-1/(x-theta[2]))],                  [-n/theta[1],n*theta[0]/(theta[1]**2)-2/(theta[1]**3)*np.sum(x-theta[2]),-n/(theta[1]**2)],                  [np.sum(-1/(x-theta[2])),-n/(theta[1]**2),(theta[0]-1)*np.sum(-1/(x-theta[2])**2)]])    return [f,j]Newtons(funs,sample,theta)

注意：对Gamma分布三参数的极大似然估计过程中,如果使用牛顿法,很容易出现矩阵不正定的情况从而无法得到正确解,这个时候可以使用拟牛顿法或者修正的牛顿法。