JS数据结构与算法_树

摘要：上一篇数据结构与算法集合字典一递归学习树离不开递归。先序遍历的一种应用是打印一个结构化的文档下面的图描绘了先序遍历方法的访问路径后序遍历后序遍历则是先访问节点的后代节点，再访问节点本身。

上一篇：JS数据结构与算法_集合&字典

学习树离不开递归。

递归是一种解决问题的方法，它解决问题的各个小部分，直到解决最初的大问题。递归通常涉及函数调用自身。

通俗的解释：年级主任需要知道某个年级的数学成绩的平均值，他没法直接得到结果；年级主任需要问每个班的数学老师，数学老师需要问班上每个同学；然后再沿着学生-->老师-->主任这条线反馈，才能得到结果。递归也是如此，自己无法直接解决问题，将问题给下一级，下一级若无法解决，再给下一级，直到有结果再依次向上反馈。

我们常见的使用递归解决的问题，如下：

// 斐波拉契数列
function fibo(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return n; // 边界
    return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
}
// 阶乘
function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1; // 边界
    return facci(n - 1) * n;
}

他们有共同的特点，也是递归的特点：

有边界条件，防止无限递归

函数自身调用

以斐波拉契数列举例，下面是n=6时斐波拉契数列的计算过程。

我们可以发现，这里面存在许多重复的计算，数列越大重复计算越多。

如何避免呢？利用缓存，将fib(n)计算后的值存储，后面使用时，若存在直接取用，不存在则计算

（1）缓存Memoizer

const fibo_memo = function() {
  const temp = {0: 0, 1: 1}; // 需要用闭包缓存
  return function fib(n) {
      if (!(n in temp)) { // 缓存中无对应数据时，向下计算查找
          temp[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
      }
      return temp[n];
  }
}()

（2）递推法（动态规划）

动态规划并不属于高效递归，但是也是有效解决问题的一个方法。

动态规划：从底部开始解决问题，将所有小问题解决掉，然后合并成一个整体解决方案，从而解决掉整个大问题；
递归：从顶部开始将问题分解，通过解决掉所有分解的小问题来解决整个问题；

使用动态规划解决斐波那契数列

function fibo_dp(n) {
    let current = 0;
    let next = 1;
    for(let i = 0; i < n; i++) {
        [current, next] = [next, current + next];
    }
    return current;
}

（3）效率对比

const arr = Array.from({length: 40}, (_, i) => i);

// 普通
console.time("fibo");
arr.forEach((e) => { fibo(e); });
console.timeEnd("fibo");

// 缓存
console.time("fibo_memo");
arr.forEach((e) => { fibo_memo(e); });
console.timeEnd("fibo_memo");

// 动态规划
console.time("fibo_dp");
arr.forEach((e) => { fibo_dp(e); });
console.timeEnd("fibo_dp");

// 打印结果【40】
fibo: 1869.665ms
fibo_memo: 0.088ms
fibo_dp: 0.326ms
// 当打印到【1000】时，普通的已溢出
fibo_memo: 0.370ms
fibo_dp: 16.458ms

总结：从上面的对比结果可知，使用缓存的性能最佳

一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点(除了顶部的第一个
节点)以及零个或多个子节点:

节点：树中的每个元素都叫作节点；

根节点：位于树顶部的节点叫作根节点；

内部节点/分支节点：至少有一个子节点的节点称为内部节点或；

外部节点/叶节点：没有子元素的节点称为外部节点或叶节点；

子女节点：7和15为11的子女节点

父节点：11为7和15的父节点

兄弟节点：同一个父节点的子女节点互称为兄弟；7和15互为兄弟节点

祖先节点：从根节点到该节点所经过分支上的所有节点；如节点3的祖先节点为 11，7，8

子孙节点：以某一节点构成的子树，其下所有节点均为其子孙节点；如12和14为13的子孙节点

节点所在层次：根节点为1层，依次向下

树的深度：树中距离根节点最远的节点所处的层次就是树的深度；上图中，树的深度是4

节点的度：结点拥有子结点的数量；

树的度：树中节点的度的最大值；

有序树

无序树

关于数的深度和高度的问题，不同的教材有不同的说法，具体可以参考树的高度和深度以及结点的高度和深度这篇文章

二叉树是树的一种特殊情况，每个节点最多有有两个子女，分别称为该节点的左子女和右子女，就是说，在二叉树中，不存在度大于2的节点。

二叉搜索树(BST)是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值， 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。

上图展示的便是二叉搜索数

同一层，数值从左到右依次增加

以某一祖先节点为参考，该节点左侧值均小于节点值，右侧值均大于节点值

在二叉树的第i(i>=1)层，最多有x^(i-1)个节点

深度为k(k>=1)的二叉树，最少有k个节点，最多有2^k-1个节点

对于一棵非空二叉树，叶节点的数量等于度为2的节点数量加1

满二叉树：深度为k的满二叉树，是有2^k-1个节点的二叉树，每一层都达到了可以容纳的最大数量的节点

insert(key): 向树中插入一个新的键；

inOrderTraverse: 通过中序遍历方式遍历所有节点

preOrderTraverse: 通过先序遍历方式遍历所有节点

postOrderTraverse: 通过后序遍历方式遍历所有节点

getMin: 返回树中最小的值/键

getMax: 返回树中最大的值/键

find(key): 在树中查找一个键，如果节点存在则返回该节点不存在则返回null；

remove(key): 从树中移除某个键

// 基类
class BinaryTreeNode {
  constructor(data) {
    this.key = data;
    this.left = null;
    this.right = null;
  }
}

下图展现了二叉搜索树数据结构的组织方式：

//二叉查找树（BST）的类
class BinarySearchTree {
  constructor() {
    this.root = null; // 根节点
  }
  
  insert(){} // 插入节点
  preOrderTraverse(){} // 先序遍历
  inOrderTraverse(){} // 中序遍历
  postOrderTraverse(){} // 后序遍历
  search(){} // 查找节点
  getMin(){} // 查找最小值
  getMax(){} // 查找最大值
  remove(){} // 删除节点
}

insert某个值到树中，必须依照二叉搜索树的规则【每个节点Key值唯一，最多有两个节点，且左侧节点值<父节点值<右侧节点值】

不同情况具体操作如下：

根节点为null，直接赋值插入节点给根节点；

根节点不为null，按照BST规则找到left/right为null的位置并赋值

insert(key) {
  const newNode = new BinaryTreeNode(key);
  if (this.root !== null) {
    this.insertNode(this.root, newNode);
  } else {
    this.root = newNode;
  }
}

insertNode(node, newNode) {
  if (newNode.key < node.key) {
    if (node.left === null) {// 左侧
      node.left = newNode;
    } else {
      this.insertNode(node.left, newNode);
    }
  } else {
    if (node.right === null) {// 右侧
      node.right = newNode;
    } else {
      this.insertNode(node.right, newNode);
    }
  }
}

下图为在已有BST的基础上插入值为6的节点，步骤如下：

有无根节点？有；对比根节点值（6<11），根节点左侧判断；

第二层左侧节点是否为null？不为；对比第二层左侧节点的值（6<7），继续左侧判断；

第三层左侧节点是否为null？不为；对比第三层左侧节点的值（6>5），以右侧判断；

第四层右侧节点是否为null？为；插入该处

树的遍历，核心为递归：根节点需要找到其每一个子孙节点，但是并不知道这棵树有多少层。因此，它找到其子节点，子节点也不知道，依次向下找，直到叶节点。

访问树的所有节点有三种方式:中序、先序和后序。下面依次介绍

（1）中序遍历

中序遍历是一种以上行顺序访问BST所有节点的遍历方式，也就是以从最小到最大的顺序访问所有节点。中序遍历的一种应用就是对树进行排序操作

inOrderTraverse(callback) {
  this.inOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

inOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    this.inOrderTraverseNode(node.left, callback);
    callback(node.key);
    this.inOrderTraverseNode(node.right, callback);
  }
}

下面的图描绘了中序遍历方法的访问路径:

（2）先序遍历

先序遍历是以优先于后代节点的顺序访问每个节点的。先序遍历的一种应用是打印一个结构化的文档

preOrderTraverse(callback) {
  this.preOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

preOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    callback(node.key);
    this.preOrderTraverseNode(node.left, callback);
    this.preOrderTraverseNode(node.right, callback);
  }
}

下面的图描绘了先序遍历方法的访问路径:

（3）后序遍历

后序遍历则是先访问节点的后代节点，再访问节点本身。后序遍历的一种应用是计算一个目录和它的子目录中所有文件所占空间的大小

postOrderTraverse(callback) {
  this.postOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

postOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    this.postOrderTraverseNode(node.left, callback);
    this.postOrderTraverseNode(node.right, callback);
    callback(node.key);
  }
}

下面的图描绘了后序遍历方法的访问路径：

（1）最值
观察下图，我们可以非常直观的发现左下角为最小值，右下角为最大值

具体代码实现如下

getMin() {
  const ret = this.getMinNode();
  return ret && ret.key;
}

getMinNode(node = this.root) {
  if (node) {
    while (node && node.left !== null) {
      node = node.left;
    }
  }
  return node;
}

getMax() {
  const ret = this.getMaxNode();
  return ret && ret.key;
}

getMaxNode(node = this.root) {
  if (node) {
    while (node && node.right !== null) {
      node = node.right;
    }
  }
  return node;
}

（2）find()方法

递归找到与目标key值相同的节点，并返回；具体实现如下：

find(key) {
  return this.findNode(this.root, key);
}

findNode(node, key) {
  if (node === null) {
    return null;
  }
  if (key < node.key) {
    return this.findNode(node.left, key);
  }
  if (key > node.key) {
    return this.findNode(node.right, key);
  }
  return node;
}

移除节点是这一类方法中最为复杂的操作，首先需要找到目标key值对应的节点，然后根据不同的目标节点类型需要有不同的操作

remove(key) {
  return this.removeNode(this.root, key);
}

removeNode(node, key) {
  if (node === null) {
    return null;
  }
  if (key < node.key) { // 目标key小于当前节点key，继续向左找
    node.left = this.removeNode(node.left, key);
    return node;
  }
  if (key > node.key) { // 目标key小于当前节点key，继续向右找
    node.right = this.removeNode(node.right, key);
    return node;
  }

  // 找到目标位置
  if (node.left === null && node.right === null) { // 目标节点为叶节点
    node = null;
    return node;
  }
  if (node.right === null) { // 目标节点仅有左侧节点
    node = node.left;
    return node;
  }
  if (node.left === null) { // 目标节点仅有右侧节点
    node = node.right;
    return node;
  }

  // 目标节点有两个子节点
  const tempNode = this.getMinNode(node.right); // 右侧最小值
  node.key = tempNode.key;
  node.right = this.removeNode(node.right, node.key);
  return node;
}

目标节点为叶节点图例：子节点赋值为null，并将目标节点指向null

目标节点为仅有左侧子节点或右侧子节点图例：将目标节点的父节点指向子节点

目标节点有两个子节点：根据BST的构成规则，以目标节点右侧树最小值替换重新连接

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