简单理解梯度下降算法及js实现

摘要：看了很多文章，梯度下降算法描述都比较艰涩难懂比如说目标函数关于参数的梯度将是损失函数上升最快的方向。求最小值对于希腊字母本能地觉得很晕，下面将以求最小值讲解梯度下降算法。

看了很多文章，梯度下降算法描述都比较艰涩难懂
比如说: 目标函数f(θ)关于参数θ的梯度将是损失函数（loss function）上升最快的方向。然后会推导出下面这个公式。

对于希腊字母本能地觉得很晕，下面将以y = x^x; (0

对于y = x^x在0-1中实际上是如下图一个函数，如何求取这个函数的最小值呢？

数学知识中我们知道导数dy（也就是沿着函数方向的切线）能够知道函数值的趋势，也就是梯度，导数范围是[-1,1], 增加或者是减少；如图所示：
假设我们X0初始值是1，X1需要往0的方向去求取最小值，在x为1的时候导数为负数。
假设我们X0初始值是0，X1需要往1的方向去求最小值，在x为0时导数为正数。

假如我们设定在求最小值过程中，每次x的变化是0.05，直到找到最小值，这个0.05在机器学习中称为步长，也叫学习率lr（learning-rate）。

由于导数影响函数趋势方向，dy*lr能给表示x的变化方向，当导数为1表示非常陡峭，可以加快步速，当导数趋近0时需要放慢步速，表示将要到达极值。

根据学习率，我们得出 X1 = X0 - dy * lr，其中lr这里设置为0.05，dy即对函数求导：

// 求导过程
y = x^x
// 对函数降幂
lny = xlnx
// 左右两边分别求导
1/y * dy = 1 + lnx
// 左右两边同时乘以y
dy = (1+ lnx)y
// 因为y = x^x
dy = (1+lnx) * x^x

得出dy = (1+lnx) * x^x

// 函数
const y = function(x) {
   return Math.pow(x, x);
};
// 导数
const dy = function(x) {
    return (Math.log(x) + 1) * x * x;
};
// 步长
const step = 0.05;
// 训练次数
const tranTimes = 1000
// 初始值x
let start = 1;

for (let count = 1; count < tranTimes; count++) {
  start = start - dy(start) * step;
  console.log(start, y(start));
}

输出结果：

0.95 0.9524395584709955
index.html:21 0.9071896099092381 0.9154278618565974
index.html:21 0.8700480926733879 0.8859306522286503
index.html:21 0.8374677719259425 0.8619622953920216
index.html:21 0.8086201886475226 0.8421712374320481
index.html:21 0.7828717701107167 0.8256070591665992
index.html:21 0.7597286934875257 0.8115828484109726
index.html:21 0.7387996916491102 0.7995903987023993
index.html:21 0.719770279950795 0.789246056834791
index.html:21 0.7023844759968008 0.7802550613870627
index.html:21 0.6864315663021606 0.7723874207927244
index.html:21 0.6717363517465544 0.7654612085706618
index.html:21 0.6581518405386136 0.7593307516282222
index.html:21 0.6455536948955527 0.7538781218982149
index.html:21 0.6338359551226174 0.7490069045677286
index.html:21 0.6229077080606727 0.7446375646724406
index.html:21 0.612690463173548 0.7407039548649291
index.html:21 0.6031160654545613 0.7371506504493626
index.html:21 0.5941250201862136 0.7339308925190816
index.html:21 0.5856651369738545 0.7310049838252315
index.html:21 0.5776904236672961 0.7283390256729259
index.html:21 0.570160177606762 0.7259039144927062
index.html:21 0.5630382339758626 0.7236745381284763
//省略
index.html:21 0.3678794436566963 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944361098257 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944356610974 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794435220623 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944347882506 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794434363831 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794433947219 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944335382694 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794433136842 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794432742799 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944323560035 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944319763227 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794431603626 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944312377846 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944308786724 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944305261655 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794430180143 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794429840485 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944295070746 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794429179797 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944288585395 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794428543191 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794428233643 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794427929789 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944276315243 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794427338746 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944270513523 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794426769245 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794426492327 0.6922006275553464
index.html:21 0.3678794426220503 0.6922006275553464
index.html:21 0.36787944259536787 0.6922006275553464

通过结果可以判断出，当x约等于0.367879442时，y有最小值0.6922006275553464

在学习率为0.05的情况下，1000次训练中，在最后约100次震荡中，输出的的y结果都是一样的，也就是说我们的训练次数是过多的，可以适当调整；

但如果我们一开始的设置的学习率是0.01，1000次训练，最后一次输出，【0.3721054412801767 0.6922173655754094】,得出不是极值，这时候也需要适当的调整，这叫做调参，得出最适合的训练模型。

至此，y = x^x求最小值已经完成，但是实际机器学习的函数并没有那么简单，也就是下面这种图。

简化一下函数图像，如下图，上面的求值方式可能只求到第一个最低点，称为局部最低点，实际上我们要求的是全局最低点在第二个最低点。

所以我们继续调参：
dy(start) * step完全依赖上一步的趋势，导致震荡不到全局最低点。所以我们可以添加一些系数，设置当前导数影响系数为0.9，上一导数影响系数为0.1，0.9 * dy(start) * step + 0.1 * dy(lastStart) * step，可以保留一些梯度直到全局最低点。

当然这里的系数和参数，都是假定的，都需要实际尝试去得到最适合的数，所以听说算法工程师也会自嘲调参工程师。