JavaScript 数据结构与算法之美 - 十大经典排序算法汇总

摘要：笔者写的数据结构与算法之美系列用的语言是，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。这应该是目前较为简单的十大经典排序算法的文章讲解了吧。比如原本在的前面，而，排序之后，在的后面十大经典排序算法冒泡排序思想冒泡排序只会操作相邻的两个数据。

算法为王。
想学好前端，先练好内功，内功不行，就算招式练的再花哨，终究成不了高手；只有内功深厚者，前端之路才会走得更远。

笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。

文中包含了 十大经典排序算法 的思想、代码实现、一些例子、复杂度分析、动画、还有算法可视化工具。

这应该是目前较为简单的 JavaScript 十大经典排序算法 的文章讲解了吧。

复杂度分析是整个算法学习的精髓。

时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。

空间复杂度: 运行完一个程序所需内存的大小。

时间和空间复杂度的详解，请看 JavaScript 数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度。

学习排序算法，我们除了学习它的算法原理、代码实现之外，更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。

分析一个排序算法，要从 执行效率、内存消耗、稳定性 三方面入手。

1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度

我们在分析排序算法的时间复杂度时，要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。
除此之外，你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。

2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶

我们知道，时间复杂度反应的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。

但是实际的软件开发中，我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

3. 比较次数和交换（或移动）次数

这一节和下一节讲的都是基于比较的排序算法。基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。

所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去。

也就是看空间复杂度。

还需要知道如下术语：

内排序：所有排序操作都在内存中完成；

外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行；

原地排序：原地排序算法，就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法。

稳定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。

比如： a 原本在 b 前面，而 a = b，排序之后，a 仍然在 b 的前面；

不稳定：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序改变。

比如：a 原本在 b 的前面，而 a = b，排序之后， a 在 b 的后面；

思想

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。

每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。

一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

特点

优点：排序算法的基础，简单实用易于理解。

缺点：比较次数多，效率较低。

实现

// 冒泡排序（未优化）
const bubbleSort = arr => {
    console.time("改进前冒泡排序耗时");
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因为外层只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比较是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
        // j < length - i - 1 是因为内层的 length-i-1 到 length-1 的位置已经排好了，不需要再比较一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
    console.log("改进前 arr :", arr);
    console.timeEnd("改进前冒泡排序耗时");
};

优化：当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。

// 冒泡排序（已优化）
const bubbleSort2 = arr => {
    console.time("改进后冒泡排序耗时");
    const length = arr.length;
    if (length <= 1) return;
    // i < length - 1 是因为外层只需要 length-1 次就排好了，第 length 次比较是多余的。
    for (let i = 0; i < length - 1; i++) {
        let hasChange = false; // 提前退出冒泡循环的标志位
        // j < length - i - 1 是因为内层的 length-i-1 到 length-1 的位置已经排好了，不需要再比较一次。
        for (let j = 0; j < length - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                hasChange = true; // 表示有数据交换
            }
        }

        if (!hasChange) break; // 如果 false 说明所有元素已经到位，没有数据交换，提前退出
    }
    console.log("改进后 arr :", arr);
    console.timeEnd("改进后冒泡排序耗时");
};

测试

// 测试
const arr = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort(arr);
// 改进前 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改进前冒泡排序耗时: 0.43798828125ms

const arr2 = [7, 8, 4, 5, 6, 3, 2, 1];
bubbleSort2(arr2);
// 改进后 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
// 改进后冒泡排序耗时: 0.318115234375ms

分析

第一，冒泡排序是原地排序算法吗 ？

冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。

第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗 ？

在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。
为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序。
所以冒泡排序是稳定的排序算法。

第三，冒泡排序的时间复杂度是多少 ？

最佳情况：T(n) = O(n)，当数据已经是正序时。
最差情况：T(n) = O(n²)，当数据是反序时。
平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

插入排序又为分为 直接插入排序 和优化后的 拆半插入排序 与 希尔排序，我们通常说的插入排序是指直接插入排序。

一、直接插入

思想

一般人打扑克牌，整理牌的时候，都是按牌的大小（从小到大或者从大到小）整理牌的，那每摸一张新牌，就扫描自己的牌，把新牌插入到相应的位置。

插入排序的工作原理：通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

步骤

从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；

取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；

如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；

重复步骤 3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；

将新元素插入到该位置后；

重复步骤 2 ~ 5。

实现

// 插入排序
const insertionSort = array => {
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return

    let preIndex, current;
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        preIndex = i - 1; //待比较元素的下标
        current = array[i]; //当前元素
        while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > current) {
            //前置条件之一: 待比较元素比当前元素大
            array[preIndex + 1] = array[preIndex]; //将待比较元素后移一位
            preIndex--; //游标前移一位
        }
        if (preIndex + 1 != i) {
            //避免同一个元素赋值给自身
            array[preIndex + 1] = current; //将当前元素插入预留空位
            console.log("array :", array);
        }
    }
    return array;
};

测试

// 测试
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array :", array);
insertionSort(array);
// 原始 array:    [5, 4, 3, 2, 1]
// array:           [4, 5, 3, 2, 1]
// array:           [3, 4, 5, 2, 1]
// array:          [2, 3, 4, 5, 1]
// array:           [1, 2, 3, 4, 5]

分析

第一，插入排序是原地排序算法吗 ？

插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，所以，这是一个原地排序算法。

第二，插入排序是稳定的排序算法吗 ？

在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。

第三，插入排序的时间复杂度是多少 ？

最佳情况：T(n) = O(n)，当数据已经是正序时。
最差情况：T(n) = O(n²)，当数据是反序时。
平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

二、拆半插入

插入排序也有一种优化算法，叫做拆半插入。

思想

折半插入排序是直接插入排序的升级版，鉴于插入排序第一部分为已排好序的数组，我们不必按顺序依次寻找插入点，只需比较它们的中间值与待插入元素的大小即可。

步骤

取 0 ~ i-1 的中间点 ( m = (i-1) >> 1 )，array[i] 与 array[m] 进行比较，若 array[i] < array[m]，则说明待插入的元素 array[i] 应该处于数组的 0 ~ m 索引之间；反之，则说明它应该处于数组的 m ~ i-1 索引之间。

重复步骤 1，每次缩小一半的查找范围，直至找到插入的位置。

将数组中插入位置之后的元素全部后移一位。

在指定位置插入第 i 个元素。

注：x >> 1 是位运算中的右移运算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 == Math.floor(x/2) 。

// 折半插入排序
const binaryInsertionSort = array => {
    const len = array.length;
    if (len <= 1) return;

    let current, i, j, low, high, m;
    for (i = 1; i < len; i++) {
        low = 0;
        high = i - 1;
        current = array[i];

        while (low <= high) {
            //步骤 1 & 2 : 折半查找
            m = (low + high) >> 1; // 注: x>>1 是位运算中的右移运算, 表示右移一位, 等同于 x 除以 2 再取整, 即 x>>1 == Math.floor(x/2) .
            if (array[i] >= array[m]) {
                //值相同时, 切换到高半区，保证稳定性
                low = m + 1; //插入点在高半区
            } else {
                high = m - 1; //插入点在低半区
            }
        }
        for (j = i; j > low; j--) {
            //步骤 3: 插入位置之后的元素全部后移一位
            array[j] = array[j - 1];
            console.log("array2 :", JSON.parse(JSON.stringify(array)));
        }
        array[low] = current; //步骤 4: 插入该元素
    }
    console.log("array2 :", JSON.parse(JSON.stringify(array)));
    return array;
};

测试

const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始 array2:", array2);
binaryInsertionSort(array2);
// 原始 array2:  [5, 4, 3, 2, 1]
// array2 :     [5, 5, 3, 2, 1]
// array2 :     [4, 5, 5, 2, 1]
// array2 :     [4, 4, 5, 2, 1]
// array2 :     [3, 4, 5, 5, 1]
// array2 :     [3, 4, 4, 5, 1]
// array2 :     [3, 3, 4, 5, 1]
// array2 :     [2, 3, 4, 5, 5]
// array2 :     [2, 3, 4, 4, 5]
// array2 :     [2, 3, 3, 4, 5]
// array2 :     [2, 2, 3, 4, 5]
// array2 :     [1, 2, 3, 4, 5]

注意：和直接插入排序类似，折半插入排序每次交换的是相邻的且值为不同的元素，它并不会改变值相同的元素之间的顺序，因此它是稳定的。

三、希尔排序

希尔排序是一个平均时间复杂度为 O(n log n) 的算法，会在下一个章节和 归并排序、快速排序、堆排序 一起讲，本文就不展开了。

思路

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

步骤

首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。

再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。

重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

实现

const selectionSort = array => {
    const len = array.length;
    let minIndex, temp;
    for (let i = 0; i < len - 1; i++) {
        minIndex = i;
        for (let j = i + 1; j < len; j++) {
            if (array[j] < array[minIndex]) {
                // 寻找最小的数
                minIndex = j; // 将最小数的索引保存
            }
        }
        temp = array[i];
        array[i] = array[minIndex];
        array[minIndex] = temp;
        console.log("array: ", array);
    }
    return array;
};

测试

// 测试
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始array:", array);
selectionSort(array);
// 原始 array:  [5, 4, 3, 2, 1]
// array:           [1, 4, 3, 2, 5]
// array:           [1, 2, 3, 4, 5]
// array:          [1, 2, 3, 4, 5]
// array:           [1, 2, 3, 4, 5]

分析

第一，选择排序是原地排序算法吗 ？

选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。

第二，选择排序是稳定的排序算法吗 ？

选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。所以，选择排序是一种不稳定的排序算法。

第三，选择排序的时间复杂度是多少 ？

无论是正序还是逆序，选择排序都会遍历 n² / 2 次来排序，所以，最佳、最差和平均的复杂度是一样的。
最佳情况：T(n) = O(n²)。
最差情况：T(n) = O(n²)。
平均情况：T(n) = O(n²)。

动画

思想

排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

归并排序采用的是分治思想。

分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。

注：x >> 1 是位运算中的右移运算，表示右移一位，等同于 x 除以 2 再取整，即 x >> 1 === Math.floor(x / 2) 。

实现

const mergeSort = arr => {
    //采用自上而下的递归方法
    const len = arr.length;
    if (len < 2) {
        return arr;
    }
    // length >> 1 和 Math.floor(len / 2) 等价
    let middle = Math.floor(len / 2),
        left = arr.slice(0, middle),
        right = arr.slice(middle); // 拆分为两个子数组
    return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
};

const merge = (left, right) => {
    const result = [];

    while (left.length && right.length) {
        // 注意: 判断的条件是小于或等于，如果只是小于，那么排序将不稳定.
        if (left[0] <= right[0]) {
            result.push(left.shift());
        } else {
            result.push(right.shift());
        }
    }

    while (left.length) result.push(left.shift());

    while (right.length) result.push(right.shift());

    return result;
};

测试

// 测试
const arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.time("归并排序耗时");
console.log("arr :", mergeSort(arr));
console.timeEnd("归并排序耗时");
// arr : [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
// 归并排序耗时: 0.739990234375ms

分析

第一，归并排序是原地排序算法吗 ？

这是因为归并排序的合并函数，在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。
实际上，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。
所以，归并排序不是原地排序算法。

第二，归并排序是稳定的排序算法吗 ？

merge 方法里面的 left[0] <= right[0] ，保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。归并排序是稳定的排序方法。

第三，归并排序的时间复杂度是多少 ？

从效率上看，归并排序可算是排序算法中的佼佼者。假设数组长度为 n，那么拆分数组共需 logn 步，又每步都是一个普通的合并子数组的过程，时间复杂度为 O(n)，故其综合时间复杂度为 O(n log n)。
最佳情况：T(n) = O(n log n)。
最差情况：T(n) = O(n log n)。
平均情况：T(n) = O(n log n)。

动画

快速排序的特点就是快，而且效率高！它是处理大数据最快的排序算法之一。

思想

先找到一个基准点（一般指数组的中部），然后数组被该基准点分为两部分，依次与该基准点数据比较，如果比它小，放左边；反之，放右边。

左右分别用一个空数组去存储比较后的数据。

最后递归执行上述操作，直到数组长度 <= 1;

特点：快速，常用。

缺点：需要另外声明两个数组，浪费了内存空间资源。

实现

方法一：

const quickSort1 = arr => {
    if (arr.length <= 1) {
        return arr;
    }
    //取基准点
    const midIndex = Math.floor(arr.length / 2);
    //取基准点的值，splice(index,1) 则返回的是含有被删除的元素的数组。
    const valArr = arr.splice(midIndex, 1);
    const midIndexVal = valArr[0];
    const left = []; //存放比基准点小的数组
    const right = []; //存放比基准点大的数组
    //遍历数组，进行判断分配
    for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] < midIndexVal) {
            left.push(arr[i]); //比基准点小的放在左边数组
        } else {
            right.push(arr[i]); //比基准点大的放在右边数组
        }
    }
    //递归执行以上操作，对左右两个数组进行操作，直到数组长度为 <= 1
    return quickSort1(left).concat(midIndexVal, quickSort1(right));
};
const array2 = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("quickSort1 ", quickSort1(array2));
// quickSort1: [1, 2, 3, 4, 5]

方法二：

// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
    let len = arr.length,
        partitionIndex;
    left = typeof left != "number" ? 0 : left;
    right = typeof right != "number" ? len - 1 : right;

    if (left < right) {
        partitionIndex = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
        quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
    }
    return arr;
};

const partition = (arr, left, right) => {
    //分区操作
    let pivot = left, //设定基准值（pivot）
        index = pivot + 1;
    for (let i = index; i <= right; i++) {
        if (arr[i] < arr[pivot]) {
            swap(arr, i, index);
            index++;
        }
    }
    swap(arr, pivot, index - 1);
    return index - 1;
};

const swap = (arr, i, j) => {
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
};

测试

// 测试
const array = [5, 4, 3, 2, 1];
console.log("原始array:", array);
const newArr = quickSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array:  [5, 4, 3, 2, 1]
// newArr:     [1, 4, 3, 2, 5]

分析

第一，快速排序是原地排序算法吗 ？

因为 partition() 函数进行分区时，不需要很多额外的内存空间，所以快排是原地排序算法。

第二，快速排序是稳定的排序算法吗 ？

和选择排序相似，快速排序每次交换的元素都有可能不是相邻的，因此它有可能打破原来值为相同的元素之间的顺序。因此，快速排序并不稳定。

第三，快速排序的时间复杂度是多少 ？

极端的例子：如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n / 2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n²)。
最佳情况：T(n) = O(n log n)。
最差情况：T(n) = O(n²)。
平均情况：T(n) = O(n log n)。

动画

解答开篇问题

快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢 ？

可以发现：

归并排序的处理过程是由下而上的，先处理子问题，然后再合并。

而快排正好相反，它的处理过程是由上而下的，先分区，然后再处理子问题。

归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。

归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。

快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。

思想

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列。

分别进行直接插入排序。

待整个序列中的记录基本有序时，再对全体记录进行依次直接插入排序。

过程

1.举个易于理解的例子：[35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]，我们采取间隔 4。创建一个位于 4 个位置间隔的所有值的虚拟子列表。下面这些值是 { 35, 14 }，{ 33, 19 }，{ 42, 27 } 和 { 10, 44 }。

2.我们比较每个子列表中的值，并在原始数组中交换它们（如果需要）。完成此步骤后，新数组应如下所示。

3.然后，我们采用 2 的间隔，这个间隙产生两个子列表：{ 14, 27, 35, 42 }， { 19, 10, 33, 44 }。

4.我们比较并交换原始数组中的值（如果需要）。完成此步骤后，数组变成：[14, 10, 27, 19, 35, 33, 42, 44]，图如下所示，10 与 19 的位置互换一下。

5.最后，我们使用值间隔 1 对数组的其余部分进行排序，Shell sort 使用插入排序对数组进行排序。

实现

const shellSort = arr => {
    let len = arr.length,
        temp,
        gap = 1;
    console.time("希尔排序耗时");
    while (gap < len / 3) {
        //动态定义间隔序列
        gap = gap * 3 + 1;
    }
    for (gap; gap > 0; gap = Math.floor(gap / 3)) {
        for (let i = gap; i < len; i++) {
            temp = arr[i];
            let j = i - gap;
            for (; j >= 0 && arr[j] > temp; j -= gap) {
                arr[j + gap] = arr[j];
            }
            arr[j + gap] = temp;
            console.log("arr  :", arr);
        }
    }
    console.timeEnd("希尔排序耗时");
    return arr;
};

测试

// 测试
const array = [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44];
console.log("原始array:", array);
const newArr = shellSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array:   [35, 33, 42, 10, 14, 19, 27, 44]
// arr      :   [14, 33, 42, 10, 35, 19, 27, 44]
// arr      :   [14, 19, 42, 10, 35, 33, 27, 44]
// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [14, 19, 27, 10, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [10, 14, 19, 27, 35, 33, 42, 44]
// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// arr      :   [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]
// 希尔排序耗时: 3.592041015625ms
// newArr:     [10, 14, 19, 27, 33, 35, 42, 44]

分析

第一，希尔排序是原地排序算法吗 ？

希尔排序过程中，只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，空间复杂度为 O(1) 。所以，希尔排序是原地排序算法。

第二，希尔排序是稳定的排序算法吗 ？

我们知道，单次直接插入排序是稳定的，它不会改变相同元素之间的相对顺序，但在多次不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，可能导致相同元素相对顺序发生变化。
因此，希尔排序不稳定。

第三，希尔排序的时间复杂度是多少 ？

最佳情况：T(n) = O(n log n)。
最差情况：T(n) = O(n log² n)。
平均情况：T(n) = O(n log² n)。

动画

堆的定义

堆其实是一种特殊的树。只要满足这两点，它就是一个堆。

堆是一个完全二叉树。

完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

也可以说：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作大顶堆。
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作小顶堆。

其中图 1 和 图 2 是大顶堆，图 3 是小顶堆，图 4 不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

思想

将初始待排序关键字序列 (R1, R2 .... Rn) 构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

将堆顶元素 R[1] 与最后一个元素 R[n] 交换，此时得到新的无序区 (R1, R2, ..... Rn-1) 和新的有序区 (Rn) ，且满足 R[1, 2 ... n-1] <= R[n]。

由于交换后新的堆顶 R[1] 可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区 (R1, R2 ...... Rn-1) 调整为新堆，然后再次将 R[1] 与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区 (R1, R2 .... Rn-2) 和新的有序区 (Rn-1, Rn)。不断重复此过程，直到有序区的元素个数为 n - 1，则整个排序过程完成。

实现

// 堆排序
const heapSort = array => {
    console.time("堆排序耗时");
    // 初始化大顶堆，从第一个非叶子结点开始
    for (let i = Math.floor(array.length / 2 - 1); i >= 0; i--) {
        heapify(array, i, array.length);
    }
    // 排序，每一次 for 循环找出一个当前最大值，数组长度减一
    for (let i = Math.floor(array.length - 1); i > 0; i--) {
        // 根节点与最后一个节点交换
        swap(array, 0, i);
        // 从根节点开始调整，并且最后一个结点已经为当前最大值，不需要再参与比较，所以第三个参数为 i，即比较到最后一个结点前一个即可
        heapify(array, 0, i);
    }
    console.timeEnd("堆排序耗时");
    return array;
};

// 交换两个节点
const swap = (array, i, j) => {
    let temp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
};

// 将 i 结点以下的堆整理为大顶堆，注意这一步实现的基础实际上是：
// 假设结点 i 以下的子堆已经是一个大顶堆，heapify 函数实现的
// 功能是实际上是：找到 结点 i 在包括结点 i 的堆中的正确位置。
// 后面将写一个 for 循环，从第一个非叶子结点开始，对每一个非叶子结点
// 都执行 heapify 操作，所以就满足了结点 i 以下的子堆已经是一大顶堆
const heapify = (array, i, length) => {
    let temp = array[i]; // 当前父节点
    // j < length 的目的是对结点 i 以下的结点全部做顺序调整
    for (let j = 2 * i + 1; j < length; j = 2 * j + 1) {
        temp = array[i]; // 将 array[i] 取出，整个过程相当于找到 array[i] 应处于的位置
        if (j + 1 < length && array[j] < array[j + 1]) {
            j++; // 找到两个孩子中较大的一个，再与父节点比较
        }
        if (temp < array[j]) {
            swap(array, i, j); // 如果父节点小于子节点:交换；否则跳出
            i = j; // 交换后，temp 的下标变为 j
        } else {
            break;
        }
    }
};

测试

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log("原始array:", array);
const newArr = heapSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array:  [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗时: 0.15087890625ms
// newArr:     [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，堆排序是原地排序算法吗 ？

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。

第二，堆排序是稳定的排序算法吗 ？

因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。
所以，堆排序是不稳定的排序算法。

第三，堆排序的时间复杂度是多少 ？

堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
最佳情况：T(n) = O(n log n)。
最差情况：T(n) = O(n log n)。
平均情况：T(n) = O(n log n)。

动画

桶排序是计数排序的升级版，也采用了分治思想。

思想

将要排序的数据分到有限数量的几个有序的桶里。

每个桶里的数据再多带带进行排序（一般用插入排序或者快速排序）。

桶内排完序之后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。

比如：

桶排序利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。

为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：

在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量。

使用的映射函数能够将输入的 N 个数据均匀的分配到 K 个桶中。

桶排序的核心：就在于怎么把元素平均分配到每个桶里，合理的分配将大大提高排序的效率。

实现

// 桶排序
const bucketSort = (array, bucketSize) => {
  if (array.length === 0) {
    return array;
  }

  console.time("桶排序耗时");
  let i = 0;
  let minValue = array[0];
  let maxValue = array[0];
  for (i = 1; i < array.length; i++) {
    if (array[i] < minValue) {
      minValue = array[i]; //输入数据的最小值
    } else if (array[i] > maxValue) {
      maxValue = array[i]; //输入数据的最大值
    }
  }

  //桶的初始化
  const DEFAULT_BUCKET_SIZE = 5; //设置桶的默认数量为 5
  bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
  const bucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;
  const buckets = new Array(bucketCount);
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    buckets[i] = [];
  }

  //利用映射函数将数据分配到各个桶中
  for (i = 0; i < array.length; i++) {
    buckets[Math.floor((array[i] - minValue) / bucketSize)].push(array[i]);
  }

  array.length = 0;
  for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
    quickSort(buckets[i]); //对每个桶进行排序，这里使用了快速排序
    for (var j = 0; j < buckets[i].length; j++) {
      array.push(buckets[i][j]);
    }
  }
  console.timeEnd("桶排序耗时");

  return array;
};

// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
    let len = arr.length,
        partitionIndex;
    left = typeof left != "number" ? 0 : left;
    right = typeof right != "number" ? len - 1 : right;

    if (left < right) {
        partitionIndex = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
        quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
    }
    return arr;
};

const partition = (arr, left, right) => {
    //分区操作
    let pivot = left, //设定基准值（pivot）
        index = pivot + 1;
    for (let i = index; i <= right; i++) {
        if (arr[i] < arr[pivot]) {
            swap(arr, i, index);
            index++;
        }
    }
    swap(arr, pivot, index - 1);
    return index - 1;
};

const swap = (arr, i, j) => {
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
};

测试

const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log("原始array:", array);
const newArr = bucketSort(array);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array:  [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗时:   0.133056640625ms
// newArr:       [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]

分析

第一，桶排序是原地排序算法吗 ？

因为桶排序的空间复杂度，也即内存消耗为 O(n)，所以不是原地排序算法。

第二，桶排序是稳定的排序算法吗 ？

取决于每个桶的排序方式，比如：快排就不稳定，归并就稳定。

第三，桶排序的时间复杂度是多少 ？

因为桶内部的排序可以有多种方法，是会对桶排序的时间复杂度产生很重大的影响。所以，桶排序的时间复杂度可以是多种情况的。
总的来说
最佳情况：当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。
最差情况：当输入的数据被分配到了同一个桶中。
以下是桶的内部排序为快速排序的情况：
如果要排序的数据有 n 个，我们把它们均匀地划分到 m 个桶内，每个桶里就有 k =n / m 个元素。每个桶内部使用快速排序，时间复杂度为 O(k * logk)。
m 个桶排序的时间复杂度就是 O(m k logk)，因为 k = n / m，所以整个桶排序的时间复杂度就是 O(n*log(n/m))。
当桶的个数 m 接近数据个数 n 时，log(n/m) 就是一个非常小的常量，这个时候桶排序的时间复杂度接近 O(n)。
最佳情况：T(n) = O(n)。当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。
最差情况：T(n) = O(nlogn)。当输入的数据被分配到了同一个桶中。
平均情况：T(n) = O(n)。

桶排序最好情况下使用线性时间 O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为 O(n)。
很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。

适用场景

桶排序比较适合用在外部排序中。

外部排序就是数据存储在外部磁盘且数据量大，但内存有限，无法将整个数据全部加载到内存中。

动画

思想

找出待排序的数组中最大和最小的元素。

统计数组中每个值为 i 的元素出现的次数，存入新数组 countArr 的第 i 项。

对所有的计数累加（从 countArr 中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）。

反向填充目标数组：将每个元素 i 放在新数组的第 countArr[i] 项，每放一个元素就将 countArr[i] 减去 1 。

关键在于理解最后反向填充时的操作。

使用条件

只能用在数据范围不大的场景中，若数据范围 k 比要排序的数据 n 大很多，就不适合用计数排序。

计数排序只能给非负整数排序，其他类型需要在不改变相对大小情况下，转换为非负整数。

比如如果考试成绩精确到小数后一位，就需要将所有分数乘以 10，转换为整数。

实现

方法一：

const countingSort = array => {
    let len = array.length,
        result = [],
        countArr = [],
        min = (max = array[0]);
    console.time("计数排序耗时");
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        // 获取最小，最大 值
        min = min <= array[i] ? min : array[i];
        max = max >= array[i] ? max : array[i];
        countArr[array[i]] = countArr[array[i]] ? countArr[array[i]] + 1 : 1;
    }
    console.log("countArr :", countArr);
    // 从最小值 -> 最大值,将计数逐项相加
    for (let j = min; j < max; j++) {
        countArr[j + 1] = (countArr[j + 1] || 0) + (countArr[j] || 0);
    }
    console.log("countArr 2:", countArr);
    // countArr 中,下标为 array 数值，数据为 array 数值出现次数；反向填充数据进入 result 数据
    for (let k = len - 1; k >= 0; k--) {
        // result[位置] = array 数据
        result[countArr[array[k]] - 1] = array[k];
        // 减少 countArr 数组中保存的计数
        countArr[array[k]]--;
        // console.log("array[k]:", array[k], "countArr[array[k]] :", countArr[array[k]],)
        console.log("result:", result);
    }
    console.timeEnd("计数排序耗时");
    return result;
};

测试

const array = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array: ", array);
const newArr = countingSort(array);
console.log("newArr: ", newArr);
// 原始 array:  [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 计数排序耗时:   5.6708984375ms
// newArr:       [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

方法二：

const countingSort2 = (arr, maxValue) => {
    console.time("计数排序耗时");
    maxValue = maxValue || arr.length;
    let bucket = new Array(maxValue + 1),
        sortedIndex = 0;
    (arrLen = arr.length), (bucketLen = maxValue + 1);

    for (let i = 0; i < arrLen; i++) {
        if (!bucket[arr[i]]) {
            bucket[arr[i]] = 0;
        }
        bucket[arr[i]]++;
    }

    for (let j = 0; j < bucketLen; j++) {
        while (bucket[j] > 0) {
            arr[sortedIndex++] = j;
            bucket[j]--;
        }
    }
    console.timeEnd("计数排序耗时");
    return arr;
};

测试

const array2 = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log("原始 array2: ", array2);
const newArr2 = countingSort2(array2, 21);
console.log("newArr2: ", newArr2);
// 原始 array:  [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 计数排序耗时:   0.043212890625ms
// newArr:       [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]

例子

可以认为，计数排序其实是桶排序的一种特殊情况。

当要排序的 n 个数据，所处的范围并不大的时候，比如最大值是 k，我们就可以把数据划分成 k 个桶。每个桶内的数据值都是相同的，省掉了桶内排序的时间。

我们都经历过高考，高考查分数系统你还记得吗？我们查分数的时候，系统会显示我们的成绩以及所在省的排名。如果你所在的省有 50 万考生，如何通过成绩快速排序得出名次呢？

考生的满分是 900 分，最小是 0 分，这个数据的范围很小，所以我们可以分成 901 个桶，对应分数从 0 分到 900 分。

根据考生的成绩，我们将这 50 万考生划分到这 901 个桶里。桶内的数据都是分数相同的考生，所以并不需要再进行排序。

我们只需要依次扫描每个桶，将桶内的考生依次输出到一个数组中，就实现了 50 万考生的排序。

因为只涉及扫描遍历操作，所以时间复杂度是 O(n)。

分析

第一，计数排序是原地排序算法吗 ？

因为计数排序的空间复杂度为 O(k)，k 桶的个数，所以不是原地排序算法。

第二，计数排序是稳定的排序算法吗 ？

计数排序不改变相同元素之间原本相对的顺序，因此它是稳定的排序算法。

第三，计数排序的时间复杂度是多少 ？

最佳情况：T(n) = O(n + k)
最差情况：T(n) = O(n + k)
平均情况：T(n) = O(n + k)
k 是待排序列最大值。

动画

思想

基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。

例子

假设我们有 10 万个手机号码，希望将这 10 万个手机号码从小到大排序，你有什么比较快速的排序方法呢 ？

这个问题里有这样的规律：假设要比较两个手机号码 a，b 的大小，如果在前面几位中，a 手机号码已经比 b 手机号码大了，那后面的几位就不用看了。所以是基于位来比较的。

桶排序、计数排序能派上用场吗 ？手机号码有 11 位，范围太大，显然不适合用这两种排序算法。针对这个排序问题，有没有时间复杂度是 O(n) 的算法呢 ？ 有，就是基数排序。

使用条件

要求数据可以分割独立的位来比较；

位之间由递进关系，如果 a 数据的高位比 b 数据大，那么剩下的地位就不用比较了；

每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序，否则基数排序的时间复杂度无法做到 O(n)。

方案

按照优先从高位或低位来排序有两种实现方案:

MSD：由高位为基底，先按 k1 排序分组，同一组中记录, 关键码 k1 相等，再对各组按 k2 排序分成子组, 之后，对后面的关键码继续这样的排序分组，直到按最次位关键码 kd 对各子组排序后，再将各组连接起来，便得到一个有序序列。MSD 方式适用于位数多的序列。

LSD：由低位为基底，先从 kd 开始排序，再对 kd - 1 进行排序，依次重复，直到对 k1 排序后便得到一个有序序列。LSD 方式适用于位数少的序列。

实现

/**
    * name: 基数排序
    * @param  array 待排序数组
    * @param  max 最大位数
    */
const radixSort = (array, max) => {
    console.time("计数排序耗时");
    const buckets = [];
    let unit = 10,
        base = 1;
    for (let i = 0; i < max; i++, base *= 10, unit *= 10) {
        for (let j = 0; j < array.length; j++) {
            let index = ~~((array[j] % unit) / base); //依次过滤出个位，十位等等数字
            if (buckets[index] == null) {
                buckets[index] = []; //初始化桶
            }
            buckets[index].push(array[j]); //往不同桶里添加数据
        }
        let pos = 0,
            value;
        for (let j = 0, length = buckets.length; j < length; j++) {
            if (buckets[j] != null) {
                while ((value = buckets[j].shift()) != null) {
                    array[pos++] = value; //将不同桶里数据挨个捞出来，为下一轮高位排序做准备，由于靠近桶底的元素排名靠前，因此从桶底先捞
                }
            }
        }
    }
    console.timeEnd("计数排序耗时");
    return array;
};

测试

const array = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.log("原始array:", array);
const newArr = radixSort(array, 2);
console.log("newArr:", newArr);
// 原始 array:  [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
// 堆排序耗时:   0.064208984375ms
// newArr:       [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

分析

第一，基数排序是原地排序算法吗 ？

因为计数排序的空间复杂度为 O(n + k)，所以不是原地排序算法。

第二，基数排序是稳定的排序算法吗 ？

基数排序不改变相同元素之间的相对顺序，因此它是稳定的排序算法。

第三，基数排序的时间复杂度是多少 ？

最佳情况：T(n) = O(n * k)
最差情况：T(n) = O(n * k)
平均情况：T(n) = O(n * k)
其中，k 是待排序列最大值。

动画

LSD 基数排序动图演示：

十大经典排序算法的 时间复杂度与空间复杂度 比较。

名词解释：

n：数据规模；

k：桶的个数；

In-place: 占用常数内存，不占用额外内存；

Out-place: 占用额外内存。

算法可视化工具 algorithm-visualizer
算法可视化工具 algorithm-visualizer 是一个交互式的在线平台，可以从代码中可视化算法，还可以看到代码执行的过程。旨在通过交互式可视化的执行来揭示算法背后的机制。

效果如下图：

算法可视化动画网站 https://visualgo.net/en

效果如下图：

算法可视化动画网站 www.ee.ryerson.ca

效果如下图：

illustrated-algorithms

变量和操作的可视化表示增强了控制流和实际源代码。您可以快速前进和后退执行，以密切观察算法的工作方式。
效果如下图：

JavaScript 数据结构与算法之美 系列文章，暂时写了如下的 11 篇文章，后续还有想写的内容，再补充。

所写的内容只是数据结构与算法内容的冰山一角，如果你还想学更多的内容，推荐学习王争老师的 数据结构与算法之美。

从时间和空间复杂度、基础数据结构到排序算法，文章的内容有一定的关联性，所以阅读时推荐按顺序来阅读，效果更佳。

1. JavaScript 数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度

2. JavaScript 数据结构与算法之美 - 线性表（数组、队列、栈、链表）

3. JavaScript 数据结构与算法之美 - 实现一个前端路由，如何实现浏览器的前进与后退 ？

4. JavaScript 数据结构与算法之美 - 栈内存与堆内存 、浅拷贝与深拷贝

5. JavaScript 数据结构与算法之美 - 递归

6. JavaScript 数据结构与算法之美 - 非线性表（树、堆）

7. JavaScript 数据结构与算法之美 - 冒泡排序、选择排序、插入排序

8. JavaScript 数据结构与算法之美 - 归并排序、快速排序、希尔排序、堆排序

9. JavaScript 数据结构与算法之美 - 计数排序、桶排序、基数排序

10. JavaScript 数据结构与算法之美 - 十大经典排序算法汇总

11. JavaScript 数据结构与算法之美 - 强烈推荐 GitHub 上值得前端学习的数据结构与算法项目

如果有错误或者不严谨的地方，请务必给予指正，以免误人子弟，十分感谢。

文中所有的代码及测试事例都已经放到我的 GitHub 上了。

笔者为了写好这系列的文章，花费了大量的业余时间，边学边写，边写边修改，前后历时差不多 2 个月，入门级的文章总算是写完了。

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