JavaScript 数据结构与算法之美 - 非线性表中的树、堆是干嘛用的 ？其数据结构是怎样的 ？

摘要：笔者写的数据结构与算法之美系列用的语言是，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。非线性表中的树堆是干嘛用的其数据结构是怎样的希望大家带着这两个问题阅读下文。其中，前中后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历访问的先后顺序。

想学好前端，先练好内功，内功不行，就算招式练的再花哨，终究成不了高手。

非线性表（树、堆），可以说是前端程序员的内功，要知其然，知其所以然。

笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。

非线性表中的树、堆是干嘛用的 ？其数据结构是怎样的 ？

希望大家带着这两个问题阅读下文。

树的数据结构就像我们生活中的真实的树，只不过是倒过来的形状。

术语定义

节点：树中的每个元素称为节点，如 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J。

父节点：指向子节点的节点，如 A。

子节点：被父节点指向的节点，如 A 的孩子 B、C、D。

父子关系：相邻两节点的连线，称为父子关系，如 A 与 B，C 与 H，D 与 J。

根节点：没有父节点的节点，如 A。

叶子节点：没有子节点的节点，如 E、F、G、H、I、J。

兄弟节点：具有相同父节点的多个节点称为兄弟节点，如 B、C、D。

节点的高度：节点到叶子节点的最长路径所包含的边数。

节点的深度：根节点到节点的路径所包含的边数。

节点层数：节点的深度 +1（根节点的层数是 1 ）。

树的高度：等于根节点的高度。

森林： n 棵互不相交的树的集合。

高度是从下往上度量，比如一个人的身高 180cm ，起点就是从 0 开始的。
深度是从上往下度量，比如泳池的深度 180cm ，起点也是从 0 开始的。
高度和深度是带有度字的，都是从 0 开始计数的。
而层数的计算，是和我们平时的楼层的计算是一样的，最底下那层是第 1 层，是从 1 开始计数的，所以根节点位于第 1 层，其他子节点依次加 1。

每个节点最多只有 2 个子节点的树，这两个节点分别是左子节点和右子节点。如上图中的 1、 2、3。

不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。以此类推，自己想四叉树、八叉树的结构图。

一种特殊的二叉树，除了叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。如上图中的 2。

一种特殊的二叉树，叶子节点都在最底下两层，最后一层叶子节都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。如上图的 3。

完全二叉树与不是完全二叉树的区分比较难，所以对比下图看看。

之前的文章 栈内存与堆内存 、浅拷贝与深拷贝 中有说到：JavaScript 中的引用类型（如对象、数组、函数等）是保存在堆内存中的对象，值大小不固定，栈内存中存放的该对象的访问地址指向堆内存中的对象，JavaScript 不允许直接访问堆内存中的位置，因此操作对象时，实际操作对象的引用。

那么堆到底是什么呢 ？其数据结构又是怎样的呢 ？

堆其实是一种特殊的树。只要满足这两点，它就是一个堆。

堆是一个完全二叉树。

完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

也可以说：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作大顶堆。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作小顶堆。

其中图 1 和 图 2 是大顶堆，图 3 是小顶堆，图 4 不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

一种特殊的二叉树，相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中，叫二叉查找树，也叫二叉搜索树。

二叉查找树是一种有序的树，所以支持快速查找、快速插入、删除一个数据。
下图中， 3 个都是二叉查找树，

平衡二叉查找树：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。

从这个定义来看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。
平衡二叉查找树中平衡的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较对称、比较平衡，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。
平衡二叉查找树其实有很多，比如，Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是我们提到平衡二叉查找树，听到的基本都是红黑树。

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

根节点是黑色的。

每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据。

任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的。

每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

下面两个都是红黑树。

完全二叉树的存储

链式存储

每个节点由 3 个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。
我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。
这种存储方式比较常用，大部分二叉树代码都是通过这种方式实现的。

顺序存储

用数组来存储，对于完全二叉树，如果节点 X 存储在数组中的下标为 i ，那么它的左子节点的存储下标为 2 i ，右子节点的下标为 2 i + 1，反过来，下标 i / 2 位置存储的就是该节点的父节点。
注意，根节点存储在下标为 1 的位置。完全二叉树用数组来存储是最省内存的方式。

经典的方法有三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历访问的先后顺序。

前序遍历（根 => 左 => 右）

对于树中的任意节点来说，先访问这个节点，然后再访问它的左子树，最后访问它的右子树。

中序遍历（左 => 根 => 右）

对于树中的任意节点来说，先访问它的左子树，然后再访问它的本身，最后访问它的右子树。

后序遍历（左 => 右 => 根）

对于树中的任意节点来说，先访问它的左子树，然后再访问它的右子树，最后访问它本身。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。

时间复杂度：3 种遍历方式中，每个节点最多会被访问 2 次，跟节点的个数 n 成正比，所以时间复杂度是 O(n)。

二叉查找树的特点是：相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中。

代码实现二叉查找树，方法有以下这些。

方法

insert(key)：向树中插入一个新的键。

search(key)：在树中查找一个键，如果节点存在，则返回 true；如果不存在，则返回 false。

min：返回树中最小的值/键。

max：返回树中最大的值/键。

remove(key)：从树中移除某个键。

遍历

preOrderTraverse：通过先序遍历方式遍历所有节点。

inOrderTraverse：通过中序遍历方式遍历所有节点。

postOrderTraverse：通过后序遍历方式遍历所有节点。

具体代码

首先实现二叉查找树类的类

// 二叉查找树类
function BinarySearchTree() {
    // 用于实例化节点的类
    var Node = function(key){
        this.key = key; // 节点的健值
        this.left = null; // 指向左节点的指针
        this.right = null; // 指向右节点的指针
    };
    var root = null; // 将根节点置为null
}

insert 方法，向树中插入一个新的键。

遍历树，将插入节点的键值与遍历到的节点键值比较，如果前者大于后者，继续递归遍历右子节点，反之，继续遍历左子节点，直到找到一个空的节点，在该位置插入。

this.insert = function(key){
    var newNode = new Node(key); // 实例化一个节点
    if (root === null){
        root = newNode; // 如果树为空，直接将该节点作为根节点
    } else {
        insertNode(root,newNode); // 插入节点（传入根节点作为参数）
    }
};
// 插入节点的函数
var insertNode = function(node, newNode){
    // 如果插入节点的键值小于当前节点的键值
    // （第一次执行insertNode函数时，当前节点就是根节点）
    if (newNode.key < node.key){
        if (node.left === null){
            // 如果当前节点的左子节点为空，就直接在该左子节点处插入
            node.left = newNode;
        } else {
            // 如果左子节点不为空，需要继续执行insertNode函数，
            // 将要插入的节点与左子节点的后代继续比较，直到找到能够插入的位置
            insertNode(node.left, newNode);
        }
    } else {
        // 如果插入节点的键值大于当前节点的键值
        // 处理过程类似，只是insertNode函数继续比较的是右子节点
        if (node.right === null){
            node.right = newNode;
        } else {
            insertNode(node.right, newNode);
        }
    }
}

在下图的树中插入健值为 6 的节点，过程如下：

搜索最小值

在二叉搜索树里，不管是整个树还是其子树，最小值一定在树最左侧的最底层。
因此给定一颗树或其子树，只需要一直向左节点遍历到底就行了。

this.min = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.left !== null) {
        node = node.left;
    }
    return node;
};

搜索最大值

搜索最大值与搜索最小值类似，只是沿着树的右侧遍历。

this.max = function(node) {
    // min方法允许传入子树
    node = node || root;
    // 一直遍历左侧子节点，直到底部
    while (node && node.right !== null) {
        node = node.right;
    }
    return node;
};

搜索特定值

搜索特定值的处理与插入值的处理类似。遍历树，将要搜索的值与遍历到的节点比较，如果前者大于后者，则递归遍历右侧子节点，反之，则递归遍历左侧子节点。

this.search = function(key, node){
    // 同样的，search方法允许在子树中查找值
    node = node || root;
    return searchNode(key, node);
};
var searchNode = function(key, node){
    // 如果node是null，说明树中没有要查找的值，返回false
    if (node === null){
        return false;
    }
    if (key < node.key){
        // 如果要查找的值小于该节点，继续递归遍历其左侧节点
        return searchNode(node.left, key);
    } else if (key > node.key){
        // 如果要查找的值大于该节点，继续递归遍历其右侧节点
        return searchNode(node.right, key);
    } else {
        // 如果要查找的值等于该节点，说明查找成功，返回改节点
        return node;
    }
};

移除节点

移除节点，首先要在树中查找到要移除的节点，再判断该节点是否有子节点、有一个子节点或者有两个子节点，最后分别处理。

this.remove = function(key, node) {
    // 同样的，允许仅在子树中删除节点
    node = node || root;
    return removeNode(key, node);
};
var self = this;
var removeNode = function(key, node) {
    // 如果 node 不存在，直接返回
    if (node === false) {
        return null;
    }

    // 找到要删除的节点
    node = self.search(key, node);

    // 第一种情况，该节点没有子节点
    if (node.left === null && node.right === null) {
        node = null;
        return node;
    }
    // 第二种情况，该节点只有一个子节点的节点
    if (node.left === null) {
        // 只有右节点
        node = node.right;
        return node;
    } else if (node.right === null) {
        // 只有左节点
        node = node.left;
        return node;
    }
    // 第三种情况，有有两个子节点的节点
    // 将右侧子树中的最小值，替换到要删除的位置
    // 找到最小值
    var aux = self.min(node.right);
    // 替换
    node.key = aux.key;
    // 删除最小值
    node.right = removeNode(aux.key, node.right);
    return node;
};

第三种情况的处理过程，如下图所示。
当要删除的节点有两个子节点时，为了不破坏树的结构，删除后要替补上来的节点的键值大小必须在已删除节点的左、右子节点的键值之间，且替补上来的节点不应该有子节点，否则会产生一个节点有多个字节点的情况，因此，找右侧子树的最小值替换上来。
同理，找左侧子树的最大值替换上来也可以。

先序遍历

this.preOrderTraverse = function(callback){
    // 同样的，callback用于对遍历到的节点做操作
    preOrderTraverseNode(root, callback);
};
var preOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        callback(node.key); // 先处理当前节点
        preOrderTraverseNode(node.left, callback); // 再继续遍历左子节点
        preOrderTraverseNode(node.right, callback); // 最后遍历右子节点
    }
};

用先序遍历遍历下图所示的树，并打印节点键值。
输出结果：11 7 5 3 6 9 8 10 15 13 12 14 20 18 25。
遍历过程如图：

中序遍历

this.inOrderTraverse = function(callback){
    // callback用于对遍历到的节点做操作
    inOrderTraverseNode(root, callback);
};
var inOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    // 遍历到node为null为止
    if (node !== null) {
        // 优先遍历左边节点，保证从小到大遍历
        inOrderTraverseNode(node.left, callback);
        // 处理当前的节点
        callback(node.key);
        // 遍历右侧节点
        inOrderTraverseNode(node.right, callback);
    }
};

对下图的树做中序遍历，并输出各个节点的键值。
依次输出：3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 20 25。
遍历过程如图：

后序遍历

this.postOrderTraverse = function(callback){
    postOrderTraverseNode(root, callback);
};
var postOrderTraverseNode = function (node, callback) {
    if (node !== null) {
        postOrderTraverseNode(node.left, callback); //{1}
        postOrderTraverseNode(node.right, callback); //{2}
        callback(node.key); //{3}
    }
};

可以看到，中序、先序、后序遍历的实现方式几乎一模一样，只是 {1}、{2}、{3} 行代码的执行顺序不同。
对下图的树进行后序遍历，并打印键值：3 6 5 8 10 9 7 12 14 13 18 25 20 15 11。
遍历过程如图：

添加打印的方法 print。

this.print = function() {
  console.log("root :", root);
  return root;
};

完整代码请看文件 binary-search-tree.html

测试过程：

// 测试
var binarySearchTree = new BinarySearchTree();
var arr = [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 13, 12, 14, 20, 18, 25];
for (var i = 0; i < arr.length; i++) {
    var value = arr[i];
    binarySearchTree.insert(value);
}

console.log("先序遍历：");
var arr = [];
binarySearchTree.preOrderTraverse(function(value) {
    // console.log(value);
    arr.push(value);
});
console.log("arr :", arr); // [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 13, 12, 14, 20, 18, 25]

var min = binarySearchTree.min();
console.log("min:", min); // 3
var max = binarySearchTree.max();
console.log("max:", max); // 25
var search = binarySearchTree.search(10);
console.log("search:", search); // 10
var remove = binarySearchTree.remove(13);
console.log("remove:", remove); // 13

console.log("先序遍历：");
var arr1 = [];
binarySearchTree.preOrderTraverse(function(value) {
    // console.log(value);
    arr1.push(value);
});
console.log("arr1 :", arr1); //  [11, 7, 5, 3, 6, 9, 8, 10, 15, 14, 12, 20, 18, 25]

console.log("中序遍历：");
var arr2 = [];
binarySearchTree.inOrderTraverse(function(value) {
    // console.log(value);
    arr2.push(value);
}); 
console.log("arr2 :", arr2); // [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 25]

console.log("后序遍历：");
var arr3 = [];
binarySearchTree.postOrderTraverse(function(value) {
    // console.log(value);
    arr3.push(value);
});
console.log("arr3 :", arr3); //  [3, 6, 5, 8, 10, 9, 7, 12, 14, 18, 25, 20, 15, 11]

binarySearchTree.print(); // 看控制台

结果如下：

看到这里，你能解答文章的题目 非线性表中的树、堆是干嘛用的 ？其数据结构是怎样的 ？

如果不能，建议再回头仔细看看哦。

JavaScript 数据结构与算法之美 的系列文章，坚持 3 - 7 天左右更新一篇，暂定计划如下表。

| 标题 | 链接 |
| :------ | :------ |
| 时间和空间复杂度 | https://github.com/biaochenxu... |
| 线性表（数组、链表、栈、队列） | https://github.com/biaochenxu... |
| 实现一个前端路由，如何实现浏览器的前进与后退 ？| https://github.com/biaochenxu... |
| 栈内存与堆内存 、浅拷贝与深拷贝 | https://github.com/biaochenxu... |
| 递归 | https://github.com/biaochenxu... |
| 非线性表（树、堆） | https://github.com/biaochenxu... |
| 冒泡排序 | 精彩待续 |
| 插入排序 | 精彩待续 |
| 选择排序 | 精彩待续 |
| 归并排序 | 精彩待续 |
| 快速排序 | 精彩待续 |
| 计数排序 | 精彩待续 |
| 基数排序 | 精彩待续 |
| 桶排序 | 精彩待续 |
| 希尔排序 | 精彩待续 |
| 堆排序 | 精彩待续 |
| 十大经典排序汇总 | 精彩待续 |

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上个周六日，不小心看了盗墓笔记电视剧，没忍住，还连看了两部