绕圆弧动画的向量解决方式

摘要：方向向量与向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。向量解决方案三方案一的问题在于，向量到向量之间的线性插值是直线均匀的，但是不是角度均匀的。

记得几年前，我的一个同事J需要做一个动画功能，大概的需求是
实现球面上一个点到另外一个点的动画。当时他遇到了难度，在研究了一个上午无果的情况下，咨询了我。我就告诉他说，你先尝试一个简化的版本，就是实现圆环上一个点到另外一个点的动画。如下图所示，要实现点A插值渐变到B的动画过程。

同事J的解决方案是，先计算出来A点和圆心O的连线和水平方向（与X轴平行)的夹角1，再计算出B点和圆心O的连线和水平水平方向的夹角2。 计算出夹角以后，开始实现动画效果，由于已经有了两个角度，所以只需要实现一个角度不断插值变化的效果即可，如下图所示：

但是这儿存在一个问题，比如下图中。

从A点和B点的位置变化从图中可以看出，A点在第二象限，角度范围是π/2~π，而A点在第三象限，角度范围在 -π~-π/2（Math.atan2的计算结果）。此时从A点的角度动画到B点的角度，动画效果是从A点沿着顺时针方向绕一大圈动画到B，而不是直接从A点逆时针动画到B点。
而实际上我们想要的结果是从A点逆时针到B点（运动的角度最小）。如果此时需要获得正确的结果，就需要做各种角度的转换适配。

首先假设OA的坐标点为（x1，y1），注意此处是A点相对于与圆心O点的坐标，这样方便计算。然后计算出角度，我们知道可以通过Math.atan2(y,x)来计算角度。 那么计算出来的角度的范围如下，以坐标系4个象限为分类标准：

第一象限的角度范围是：0 ~ PI/2

第二象限的角度范围是：PI/2 ~ PI

第三象限的角度范围是：-PI ~-PI/2

第四象限的角度范围是: -PI/2 ~-PI

如下图所示：

从上面图中可以看出，象限之间的角度变换不是线性的，比如从第二象限到第三象限，角度出现了跳跃式的变换。假设A点在第二象限，B点在第三象限，如下图所示：

现在假设A点的角度为 3/4 PI, B点的角度为 - 3/4PI,如果按照角度插值的方式进行运动。示例代码片段入下：

      var i = 0,count = 200;
      var PI = Math.PI;
      function animateAngle() {   
        var angle = (angle1 * (count-i) + angle2 * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = "red";
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

运动的轨迹如下图红色弧线所示，

而实际，我们希望的效果是按照最短的路径进行运动，如下图蓝色弧线：

为什么运动轨迹是红色的弧线呢。 因为使用了角度的插值，A点角度是PI3/4,B点角度为-PI3/4，因此插值是从一个正的角度减少到一个负的角度，这正好是红色路径。下图标记了主要节点的角度：
。
同样的道理，从B点动画到A点，也同样会走红色路径。

要实现A点和B点之间沿着蓝色弧线动画，需要把B点的角度加上2 PI，此时B点的角度为PI5/4。看来把小于0的角度加上2*PI，可以解决上面的问题。
但是这种方式不能解决所有的情况，比如把A点移到第一象限，有下面两种情况：

情况1： 红色弧线的角度小于PI，此时应该沿着红色弧线动画，此时
B点的角度不应该加上PI*2

情况2： 红色弧线的角度大于PI，此时应该沿着蓝色弧线动画，此时
B点的角度应该加上PI*2

可以看出情况比较复杂，需要考虑角度的各种情况进行转换，才能得到正确的结果，所以很多人程序员会陷入其中热找不到正解。

正是由于有了这个角度的问题，导致这个动画实现的难度变大。同事J在经过各种实验后未能找到好的解决方案，问我如何解决。我看了之后，给出的解决方案是，可以考虑直接用向量的插值，而不是用角度的插值。向量的基本概念，我们在高中就学习过，此处不做详细说明。

比如上面的问题，无论是A点到B点，还是A点到C点，都可以用统一的模式解决。首先，我们可以把问题简化成一个线性运动的问题，比如从A点运动C点，由于是线性问题，这通过向量的插值（0~1）很容易计算出来，首先计算出向量OA，然后计算出向量OC，通过之后可以通过插值运算，计算出中间向量
OX = OA （1-x） + OC （x）
上面的公式计算出来的OX，其长度和OA和OC并不相等，所以点X并不是在圆环上运动。此时只需要通过向量的缩放操作，把OX的长度延长为OA的长度即可。

以下是代码片段：

 var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
         v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
var i = 0,count = 200;
function animateVector(){
          var a = i / count;
          var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a);
          v.setLength(r);
          i ++;
          if(i > count){
            i = 0;
          }
          
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
      }

其中Vec2是二维向量类。
当然上面的解决方案有个问题：上面的运动是基于直线均匀运动的，应此并不能保证动画的角度均匀性。当角度小的时候，这种差异并不大，所以在不严格要求角度均匀的情况下，可以不用处理。 而如果角度大的时候，速度差异就会比较大。

如果一定要角度均匀，也是可以做的，可以用到向量的点乘、叉乘知识。首先我们需要学习两个知识点

向量A（ x1,y1）和向量B(x2,y2)的点乘结果如下：

A*B = x1*x2 + y1*y2

向量A点乘向量B的点乘结果的另外一个公式如下：

a * b = |a| * |b| * cosθ 

通过该公式可以推导出，两个向量之间的夹角的计算公式：

cosθ  = a * b /( |a| * |b| )
θ = Math.acos(a * b /( |a| * |b| ));

点乘计算出来的夹角的的范围是在0~PI之间。

二维向量没有叉乘，叉乘是针对三维向量的。本文所述的问题，是一个二维的问题 ，但是为了方便使用叉乘来解决问题，把二维问题升级到三维问题，也就是，增加一个z坐标。
向量叉乘的结果叫做向量积，其本身也是一个向量，向量积的定义如下：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向：向量A与向量B的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从A以不超过180度的转角转向B时，竖起的大拇指指向是向量C的方向。C = A ∧ B）
。

本文中，向量A和向量B都在xy平面，所以他们的叉乘结果C（向量积）和xy平面垂直，和z坐标平行。其方向和A到B的顺序有关：

当A到B是顺时针的时候，C指向z轴的负方向。

当A到B是逆时针的时候，C指向z轴的正方向。

有了相关的向量知识，现在给出问题的解决方案，代码如下：

 var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
           v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
        var crossVector = new Vec3().crossVectors(v1,v2);
var i = 0,count = 100;
function animateVector2(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); 
        if(crossVector.z > 0){//通过向量叉乘判断是逆时针还是顺时针，crossVector.z > 0是逆时针
            angleEnd = angle1 + vAngle;
        }else{
            angleEnd = angle1 - vAngle;
        }
        var angle = (angle1 * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

大致步骤如下：

通过三角函数知识，计算出A点的夹角angle1。

通过向量的点乘知识，可以计算出两个向量之间的夹角vAngle。

通过向量叉乘计算出向量A和向量B的向量积crossVector。

通过crossVector的方向，来判断向量A到向量B的运动方向是顺时针还是逆时针。如果crossVector.z > 0说明是逆时针，反之是顺时针。

如果是顺时针，通过 angle1 - vAngle计算出角度angleEnd，如果是逆时针，通过 angle1 + vAngle计算出角度angleEnd。

通过在angle1和angleEnd之间进行角度插值来实现动画效果。

总结： 上面的方法其实还是使用角度的插值来实现动画效果，所以是角度均匀的动画。 但是借助了向量工具，让起始和结束角度的计算变得容易。

方案一的问题在于，向量A到向量B之间的线性插值是直线均匀的，但是不是角度均匀的。如果我们把线性插值的插值因子改成角度均匀，而仍然使用线性插值的计算方式，就可以解决方案一的问题。这要借助三角函数的知识，先看下图：

首先通过向量点乘，可以计算出角AOB的夹角vAngle，假定运动的角度为θ，此时运动点在X处，通过三角函数知识可以得到：

AM = MB = OA  Math.sin(vAngle/2)  = r   Math.sin(vAngle/2) ;
 其中r为半径
OM = OA  Math.cos(vAngle/2) =  r   Math.cos(vAngle/2) ;
因此可以算出
XM = OM * Math.tan(vAngle/2 - θ)，
最终可以计算出AX的长度为
AX = AM - XM =  r   Math.sin(vAngle/2) - r   Math.cos(vAngle/2) *Math.tan(vAngle/2 - θ)

通过以上计算公式，可以计算出基于角度的线性插值的插值因子 s = AX/AB。 带入插值因子，结合向量的线性插值即可实现角度均匀的动画效果,代码如下：

function animateVector3(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); // 通过向量计算夹角
        var stepAngle = a * vAngle; // 
        var halfLength = r * Math.sin(vAngle/2);
        var stepLength = halfLength - r * Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle);
        a = stepLength / (halfLength * 2); // 弧线到直线上的映射关系：0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2)
        // a = 0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2);
        var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a); //向量插值
        v.setLength(r);
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }  
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = "orange";
        ctx.stroke();
      }

下面这段转换代码可以达到角度适配的效果，此处列出代码，不进行说明，有兴趣的读者，可以自己研究。可以看出，稍显复杂。

 var i = 0,count = 200;
 var PI = Math.PI;
function animateAngle2() {
          var angleStart,angleEnd;
          if(Math.sign(angle1) == Math.sign(angle2)){
              return animateAngle();
          }else{
              if(angle1 < 0 && angle1 +2*PI > angle2 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle2 < 0 && angle2 +2*PI > angle1 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle1 < 0){
                  angleStart = angle1 + 2 * PI;
                  angleEnd = angle2;
              }else{
                  angleStart = angle1;
                  angleEnd = angle2 + 2 * PI;
              }
          }
       
           var angle = (angleStart * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
           var x = cx + Math.cos(angle) * r,
                y = cy + Math.sin(angle) * r;
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(cx,cy);
            ctx.lineTo(x,y);
            ctx.strokeStyle = "red";
            ctx.stroke();
            i ++;
            if(i > count){
                i = 0;
            }
      }

上面解决了圆环的情况，如果是球面的情况，如果是通过角度转换的方式，则非常复杂。
而通过向量的方式：

向量解决方案一和向量解决方案三，可以平滑的移植到球面运动的情况，复杂度并没有提高。

向量解决方案二，需要做一些的调整，才可以方便的移植到球面的情况，这里面涉及到一些坐标系变换的知识，稍微复杂，此处不讲述。 有兴趣的同学，可以留言点赞。 如果有很多人希望了解，我会在写一篇文章来讲解这个问题。

当然 如果学过三维的同学一定知道四元数的相关知识,通过四元数可以很方便的实现球面插值，这超过本文的范围，不讲述，有兴趣的同学自己了解吧。

可以看出：
通过角度转换的方式来实现圆环或者球面上面的动画，要适配很多情况，比较复杂。
而通过向量来实现圆环或者球面上面的动画，会变得简单和容易理解。

这也是为什么当时同事J自己研究了一上午也没有做出来，实现的效果，总是一会儿行，一会儿不行。而他在理解了向量的解决方案之后，10分钟便写出了健壮的动画效果代码。

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